IV,— SÉBIE DE MAC-LAURIN. — APPLICATIONS

105. Série de Mac-Laurin. — ÏS'oiis venons de développer certaines fonctions particulières en séries de puissances entières et positives de la variable. Xous allons indiquer une formule générale permettant de former le développement en série de puissances d'une fonction quelconque donnée f{-«], pourvu que ce développement soit possible.

Soit donc f{x) une fonction donnée ; supposons cette fonction développée en une série de la forme

Comme nous l'avons vu, cette série converge dans un intervalle de — aii-l-a. Dans cet intervalle, la fonction f{.i) est continue et a une dérivée

.;2) f {,r) = «, + 2n,a:+3fl,.t"+ ... + ««„*■"-'+ ...,

définie par une nouvelle série de puissances, convergente dans le même intervalle. Cette dérivée première possède alors une dérivée

(3) f"{x) =. 2«, + 2.3«,^• + ... + [n~i)na,,v'^-^+ ... Cette nouvelle série a, de mi^me, une dérivée

(4) /■"'{.r) = 2.3«,+ ...+ («2)(« — l)««,,i'"-^+ ..., et ainsi de suite, jusqu'il la dérivée d'ordre ii.

(5) f"{yi= 1.1.3... {n-2]{n~l)na. + ...

D'après cela, une première condition pour qu'une fonction ■donnée /"(.*■} puisse être développée en une série de puissances dans un intervalle — a + a, est que, dans cet intervalle, elle admette des dérivées de tous les ordres restant toutes finies. Cette condition étant remplie, si le développement est possible,

■]t'> COURS D'ANALYSE

m ubtieiitira los coerficients rt^,, ai, , «„ en fais

laiis les formules précédentes (1) à (5). On a ainsi

".=/■(<)). ",=(•{%■ ».=4tt-' r (0) __ ^ r (0)

Portant ces valeurs dans le di

(6) /(r) - m -^ ^r m + xr ^'"^^^ + lix ^"'^'^^

106. Légitimité du développement. — Telle est la formule de Mac-Laiirin. Elle donne le développement de^{.r) (juaiid il est possible. Mais dans quelles conditions ce développement est-il possible ?

Pour cela, il Tant et suffit :

1" Que la série du second membre de l;i formule ait tous ses coefficients finis ;

2" Qu'elle soit convergente {dans quelque intervalle symétrique par rapport à l'origine);

3" Que la somme de cette série soit égale afl-v).

Les deux premières conditions sont aisées à vérifier. La troisième est beaucoup plus difficile à vérifier; on y arrive par divers procédés dont on trouvera plus loin des exemples à propos des développements de sinjr, cos.r, (1 + .r)"". On y arrive également, dans certains cas, en évaluant l'erreur commise quand on substitue à la fonction les n premiers termes de la série (6). Dans les applications, on admet fréquemment que, quand la série est convergente, elle représente la fonction ; mais il existe des exemples du i'ait contraire.