Développements de sin r et eos ,r. — Soit d'nborci

/-'(,) =eo,,,, /-"(.,) = -si,i,,-, ri /■"H = sin ^, etc..

SÉRIE DE MAC-LÂVRIN. APPLICATIONS ij

Faisant ^^==0, on voit ([ue la fonction et toiiLos les dérivée d'ordre pair s'annulent; les dérivées d'ordre impair sont idtej nativement égales à + 1 et à — 1.

On trouve ainsi le développement

Ce développement est convergent pour toutes les valeurs de x de — ce à H- co.

Hais ce fait ne suffit pas pour qu'on puisse affirmer, en toute rigueur, que la somme de la série est bien égale à sin x. C'est ce que nous vérifierons plus loin.

Pour avoir le développement de cosx, il suffit de prendre la dérivée du développement précédent. On a ainsi

eos j: = 1 -

108. Formule d'Euler. — On peut ralUieher ces deux développements ii celui de e'- de la laçon suivante. Soit i l'unité complexe telle que

,>^— 1, et, par suite,

on a, par définition,

«''=' + -X + TX + T&+TKU +■■■

En remplaçant les puissances successives de i par leurs valeurs, on voit que les termes de rang impair sont

et forment le développement de cos .v, puis que les termes de rang pair sont

et forment le développement de i

178 COURS D'ANALYSE

On il donc

e" = cos X -+- i sin ,r.

Chniij^eant ,r on - — ,r, on a de mfmc

Si, enfin, l'on ajoute et retranche ces formules membre l\ memhrf

Ces relatiiins nous ont servi sous une autre forme (iS"'80;.

109. Vériilcation. — Voici comment on peut vérifier que les deux développements ci-dessus représentent bien sin s et cos x. Posons

" = ■'' OX ~^ i.2.:i.4.5 ~ ■■■

et proposons-nous de déterminer les fonctions 11 et ç de l;i ble a\ On voit immédiatement, en différeutiant, crue l'oi

On en conclut, en multipliant h\ première équation par 11 et 1 deuxième par c et ajoutant,

Le premier membre de oetlc relation étant la dérivée de -^{tt^ +<'')■ on en conclut, par l'intégration, que ((^ + c- est constant

iiF.lUE DE MÂC-LMIRIX. APPLICATIONS 179

C désignant une constante. Ponr déterminer cette constante, faisons ,*; = 0: alors u se réduit ii 0, c à 1, donc C = 1 et on a

On tire de là

, , , ■ f' " 1 portant dans la relation -^— = c,

^ dx

Dans cette dernière relation, le premier membre est la différentielle de +,T, le deuxième de arc sin»; on a donc, en prenant le signe -f-

œ désignant une constante arbitraire; en prenant lo signe —, on a de mémo

|b désignant une constante arbili'aire. Ces deux expressions rentrent l'nno dans l'autre, eav, en posant

la deuxième devient

Ensuite la fornuile c =-7— donne

(Le

,. = cos(,r-+-7.).

Pour déterminera, remarquons encore qnc ;( et c se réduisent, respectivement, ii 0 cl 1 pour :k = 0. Nous aurons, en faisant