s;n=>., l = eos

yGoosle

l8o COùItS DWNJLYSF.

Donc

où k est un entier positif, négatif ou nul, et l'on a oiifin

a = sin [x + 2 k-) , p = oos (x -(- 2 A-r.) l'.'est-à-dive,

110. Déveioppe/nent de (1 -|- x)'". — Soit m un nombre quelconque, positif ou négatif, entier ou fractionnaire. Appliquons la formule de Mac-Laurin au développement de

On^a immédiatement

En faisant x = 0, on en déduit

/■(0) = 1, /'(0)=,«, /•"(0) = „mV»-1), /W(0) = ,„ (,»-!)... i,n~,,+ L;.

La formule de Miic-Liiurin doiiiic nlor.

Ou a ainsi la lormulc du binôme étendue à un exposiint ([ueleonque .

Pour voir dans quelles limites cette série est convergente, prenons ,1c rapport du ternie en .%•''''' an terme précédent en ■v'', nous avons pour ce rapport

yGoosle

SÉBIE DE MAC-IÀURIN. APPLICATIONS i8i

Qurtnd /; .lagmente indéfini ment, ce rapport tend vers — .*■. Donc quand X est moindre que 1 en valeur absolue, la série est divergente; quand x est supérieur à 1 en valeur absolue elle est convergente. Nous allons vérifier que, dans l'intervalle de — 1 à | 1, la somme de la série est égale a {1 +a;)"'.

Vérification. -— l'o

■' - ' T- 1 ' T rr^" ^ 1.2.3

Kn prenant la dérivée, on a