Application à ^ . Développement de arc sinx

On a

D'après la formule générale précédente où on cliai — x^, on a

SEHIË DU ilAC-LÀi'Rl:

1', APPIIC.

( r/cv,'

•X on trouve

(l-.,rrT = l+ ^^.+ .

Multiplions les deux membres par dj^ et intégrons de 0 a .r, il vient

C^es dévoloppements sont convergents pour x conipiis entre — Let + 1 et l'iux étant compris entre ^ fit + -;r-

112- Méthode des coetïîcienta indéterminés. — Duns les applications, on emploie souvent la méthode des coefficients indéterminés pour calculer les premiers ternies du développement d'une ioDction en série de puissances.

Prenons par exemple la fonction

qui est finie, ainsi que tuules ses dérivées, pour\e ^^ 0. Posons

Le premier membre changeant de signe avec .i-, il doit en {^tre de même du deuxième. La série ne doit donc contenir que des puissances impaires de x. Les coefficients «„, a^, a^,■.■ sont nuls, et on peut, dans la série, mettre ,r en facteur. On a ainsi, en chassant le dénominateur,

et, en remplaçant sinj^et cos ^ par leurs développements,

COUaS D'ANALYSE

Kii faisant îe produit des deux séries du deuxième membio e1 ordonnant suivant les puissances croissantes de .r, on doit trouver une série identique au premier membre : on a donc

tang ,-r=,r— ■