SÉRIE DE TAY

H3. Série de Taylor. Formule. — La lorunile de Mac-Laurin permet d'étudier une fonction fÇr) diuis le voisinage de la valeur ,T ^0; nous avons vu, en effet, que la série de Mac-Laurin con- 'erge dans un intervalle symétrique par rapport à 0.

Pour étudier la fonction f[x) dans le voisinage d'une autre valeur (rt><0), on fait un changement de variable en posant

iilors .ï étant voisin de rt, il étudier la fonction de a

fia -

dans le voisinage de ^' = 0. Pour cela, on développe f[a-\-x') suivant les puissances positives croissantes de x' . La formule qui donne ce développement est la lormule de Taylor. SI, pour un Instant, on pose

il s'agit de développer 's[x') en série de puissances entières et positives de x' . C'est ce qu'on fait en appliquant à '-^{x') le développement de Mac-Laurin :

SERIE DE TAYLOn i85

Or ridentiti?

el les identités qu'on en déduit en prenant los dérivées successives des deux membres piiv rapport ;i ,r', donnent évidemment, pour y 1=0,

On !) donc le dt^veloppcnient

rrw+ >

i[ui est le développement de Taylor. Pour que ce développement soit applicable, il faut el il suffit que a (.*') soit développable par la formule de Mac-Laurin .

Le développement (T) converge pour les valeurs de x' comprises dans un certain intervalle symétrique par rapport a ,r'^0, c'est-à-dire pour

Comme on a pose

ce développement représente donc la fonction f [:r) pour les valeurs de X comprises entre a — a et a-\- •y..

En remplaçant, dans !e développement (ï), a par x el x' par h^ on écrit la même formule

114. Interprétation géométrique. — - Considérons la courbe ayant pour équation

Si on développe /'(.r) par la série de Miio-Laiiriti, on obtient un développement qui représente un arc BB^ de In courbe comprise entre deux ordonnées symétriques par rapport i\ Oi/ (fig- 57).

Pour étudier la courbe dans le voisinage d'un autre point A, d'abscisse a, on considère l'ordonnée AO' du point A et on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en O' de façon à les amener en 0','^ et 0''/ . La nouvelle abscisse x' d'un point de la courbe est liée à l'ancienne x par la formule

L'équation de la courbe devient

et, pour étudier la courbe au voisinage du point A, on développe f{a-\~j:') suivant les puissances de x' . La série de Taylor ainsi obtenue représente un nouvel arc CC, de la courbe compris entre deux ordonnées symétriques par rapport à 0' y' . Soit, par exemple,

équation d'une hyperbole ayant pour asymptotes .i Si on forme le développement de Mac-Laurin,

CALCUL DE CERTAl.yES INTÉGBALES i8;

il repi'éscDlo l'.tre B ce compris eiiti'c rasyniptote j; =: 1 et la syniéti'ii^ue de l'asymptote par rapport ii Oy (fig. 58).

Pour étudier la courbe 00' = 2, on lait

nage du point A d'abscisse

alors

cette nouvelle série, étant convergente pour

représente l'arc d'hyperbole — OD C compris e«tre l'asymptote verticale j)' ^^= — 1 et la symétrique de cette droite par rapport à la droite 0';/ .

VI. — APPLICATION DES DÉVELOPPEMENTS EN SËHIES DE PUISSANCES AU CALCUL DE CEBTAINES INTÉGRALES

Nous donnerons, à la fin de l'ouVrage, des métliodes d'approximation et des procédés mécaniques pour évaluer les intégrales. Nous indiquerons ici comment, dans certains cas, on peut calculer, approximativement, une intégrale en la développant en