Intégrale i e~-'~(,l
- Cette intéffrale
COURS D'AnALYSE
primer sous lorme finie. Pour do petites valeurs de x, on li» ciilculera approximaLivenicnt en la développant en série. Comme
i '~ •^" = "— J^ + TT2-Tr2T+
Cette série est convergente pour toutes les valeurs de x; elle converge très rapidement quand .c est inférieur à 1.
On a construit des tables pour le calcul de cette intégrale de la façon suivante.
Nous de montrerons plus loin que l'intégrale
est égale à -^-v^' On considère alocs la fonction
qui se réduit ii 1 quand la limite supérieure x croît indéfiniment. D'après le développement ci-dessus, on a
lefficients «,, a^, ... ont pour valei
On trouvera dans les tables de Houël (p. 61) les logarithmes
des coefficients a,,a^, ,a,j, et les valeurs de la fonction [x)
de.r = Oà,r^ 2.
116. Rectification de l'ellipse- Exemple d'intégrale elliptique. — Soit une ellipse rapportée a ses axes
CALCUL DE CEllTAiyES lî^'TF.GRALES 189
On peut exprimer )es coordonnées d'im point M de la coiirbo en fonction d'un paramètre u en posant
X = a eus ir, ^ = ^' sii' " ■
Pour H -j=: 0, on a le sommet A; et, pour «=^-7^, le sommet B. Calculons l'arc AM = s. On a
ds = '^dx' -\- dy^ = \d^ sin^» -\~ li' cos^- a du.
Remplaçons sin^ u par 1 — cos ''u, «^ — h^ par f^ et désignons par e Vexcentricité de l'ellipse
Xous pourrons écrire
,h = n^i — e'cu%'uda, s^a I vl — e'cos^ iidii.
L'intégrale ainsi obtenue ne peut pas être calculée sous forme finie à l'aide des fonctions élémentaires algébriciues, exponentielles et logarithmiques, circulaires directes ou inverses. C'est un cas particulier des intégrales elliptiques. On la calculera par les méthodes d'approximation que nous donnerons plus tard; on pourrait aussi la calculer en la développiint en série procédant suivant les puissances de e^.
Faisons le calcul pour le quadrant d'ellipse AB; il faudra intégrer de 0 à -;j- . On a donc, en appelant l le périmètre de l'ellipse.
;t inoindre que 1 , on peut développer
1— e'ccu
^11 par la formule du binôme
— e- eos- ((^ ^ = .1 — — Ê^ f os- u
e " COS'" II — ..
cou a s D'ANALYSE
En miiUipliant par adu et iiitégriint terme i» terme de 0 à—, on
ura une série donnant -y- 1. Pour avoir le terme géiiériil de eette
11 faut ealcnler l'intéarnlc
sîti r
et intégrons par parties; nous auroni 'J'- («}^ i'cos'""' w, sln h; . —
La partie intégrée s'annide aux limites; l'intégrale du second membre peut s'écrire
c'est-à-dire
l''n donnant à /( successivement les valeurs 1, 2, ...,«, on a aln: les relations
yGoosle
CALCUL DE CEIITAINES IiyTEGItALEH
d'où, en multipliant membre à membre.
\Y[{)) = f'' da = ^.
Le cocllieienî de «-" dans la série donnant -^ est donc
ou, d'après l» vaieiir de ^'{w),
j» rl.3.5 (2— 3)T
On a donc enfin pour -j- la sério
-(is:^)'-- ]■
Calculons lo rayon U d'une circonférence de même longueur que l'ellipse.
il vient, en rcmplaçitiit l par sa videur, et calciilanl les coefficients numériques
R^rt|^i^^fi— -j^fi'— -^^e'— |(;3^4e''— J.
On peut obtenir des valeurs approchées de R en l'ouction desdeux axes « et i de la façon suivante.
igî COURS D'ANALYSE
Une première valeur de R, approchée par dcl'aut, est ~-^{n-{-h). En effet,
développant par la i'oriniile du binôme, on a
/ Ti L > 1 , 1 , 5 , 1
On en conclut la valeur suivante de — ^ — que nous écrivons
en réduisant les coefficients numériques aux mêmes dénominateurs c|uc dans !e développement de R :
On voit que — ^t — est une valeur approchée de R par déliiut,
et que lu difi'érenoe R ^ — est de l'ordre de e'.
Une deuxième valeur de R, approchée également par défaut, jnais un peu moins, efit\/fil/. En effet /i étant égal ii a\/i. — e', on a
En comhiuaut ces deux lormules donnant -
■obtient, d'après M. lîoussincsq, une valeur de R approchée par excès. On a en effet
expression qui ne diffère de R que par le terme en t
CALCUL ni! ceutaiive^ i.\tj-:giiales 19J
On trouvera des renseignements -détaillés sur cette question de la rectification de l'ellipse dans un article intitulé Essai technique xur la rectification de l'eUipse, pur j\l. Williot {Annales des Ponts ei Chaussées, juillet 1896).
in. Intégrale elliptique Eloi. — Xuuh avons trouvi; dans le luniiéro précédent (jue î';\rc d'ellipse AM esl donné par
,v=rt / V'I— e^eos-« du.
Donc F;
Wii BM, eomptc à p:\rtir du sommet du petit -.n-cAi'Sl-^a j Vl — fr cos-« du.
iixe, est
Ku i\,h:
iiit )/ = -.y — -f , du —- — d-s>, et reni;ir<pi;ui
t qnc le
iiitcs de
^ sont 9 et 0, on a, ajjrès avoir interverti les
limites.
a.o B^i = « / l/i — e- siu- -j d^f.
Du pos
c, habituellement,
K(-?,/c-;^J t/1-A-^sin^-f (b.
)re positirplus petit qne i.
cBM =«]-:(
L'intégrale E [^, k) est une intégrale elliptique qui a été étudiée par Legendre et appelée pur lui intégrale elliptique de seconde espèce. Sa valeur dépend des deux noiid)res s et /■. Comme /< est moindre que 1, on peut poser
On appelle z, l'amplitude, k le module, 0 l'angle du modtilo. On ti-oiivcra d'.\ns les ta!)les dn llouL-l (p. 58) les videurs d;.-
■ 94 COVIIS
E(f,A)etdelogE(^, ^-jpoiir 1 et H exprimées eo parties du de quadrant.
Ces tables pourront doiin s
s valeurs successives dos angles quadrant, de dixième eu dixièi
i I;\ rectification de l'ellipse.
118- Autre exemple d'intégrale elliptique. Pendule simple. Intégrale elliptique de première espèce. — ■ Imaginons un pendule simple de Inn^^iieiir OM^-l oscillant dans le vide entre les
deux positions extrêmes OA et OB, symétriques par rapport ù la verticale 0M„, et faisant avee la verticale l'angle a. Soit A l'angle ;0M que fait le pendule avec !a verticale ii l'instant /. On démontre, en mécanique rationnelle, que l'on a
i ifi.
Rcmpla<^ons cos î. et cos a ]iar 1 — 2 siu- ^ et 1 -— 2 siu'- ~ ,
où nous prenons le signe + en supposant que le pendule monte. En intégrant et comptant le temps à partir de l'instant où le mobile est en M„, on a
yGoosle
