CALCUL DE CERTAINES INTEGRALES

C'est encore li» une intégrale elliptique. Elle se ramène facilement il la forme que Legendre a nommée intégrale de première espèce. Faisons un changement de variable en posant

■i désignant une nouvelle variable qui part de zéro avec '). et qui devient égide à -7^ pour ). = a. Kn posant, pour abréger,

Donc

C'est là l'intégrale elliptiqu< par Legendre par la notation

; espèce, désignée

./• 1/1-*' si,,-?

La quantité /.■ est le module, » l'amplitude. On trouve dans les tables de Houël [p. 58) les valeurs de cette intégrale : dans ces tables on a posé

A'^sinft,

et on a calculé les valeurs de F (a, /,) et de son logarithme pour les valeurs des deux angles cp etO de dixième en dixième de quadrant. Dans le mouvement du pendule simple, S est égal à la moitié de l'angle d'écart maximum, 6= ~ .

T96 COUBS D'A?!ALySE

119. Durée d'une oscillation da pendule. Développement en série suivant les puissances du sinus du demi-angle d'écart maximum. — Nous avons trouvé plus haut l'expression du temps i que met le pendule a s'écarter de la verticale d'un angle À. Pour avoir la durée T d'une oscillation simple, il suffit de doubler le temps que met A à acquérir la valeur-;^ ,

On a donc

/f'^-lf^

Cette intégrale F (-y)^') est ce que Legendre appelle ùilt- •^rale complète de première espèce. On la désigne ordinairement p,„- K.

ï/I^Flmî^'

C cette oolaLum T

■-^■Vf

Pour calculer K, nous allons le développer en une série procé-

l'ait pour développer la longueur d'une ellipse en série procédant suivant les puissances de rcxccnlricilo.

Ecrivons

K= /'";1— Psln^^;"Trf^,

et développons, par hi foruiulc du !)Iuônie, la quantité sous le signe d'intégration

APVLlCATIOy ACX FORMES I,\DÉTERMI X ÉES

Or. en faisant -^^ ~ u, do^ — du, et on remarquant que, s

signe ol intorverli les limites,

yr[n)^f''cos'-"iidu.

Cette intégrale est celle que nous avons calculée au n" lifi.

k.1[. + (|)V+(-)Vh

[. — APPLICATION DES DÈVELOPPEMENrS EN SÉRIES DE PUISSANCES A L'ÉTUDE DES FORMES INDÉTERMINÉES