Formes indéterminées

formes indéterminées sont.

Les peineipaux types de

nulent toutes deux pour .t = a. Le rapport

n'a aucun sens pour x^=a; mais U peut arriver que ce rapport tende vers une limite quand ic tend vers a; on dit alors que cette limite est la valeur du rapport pour x ^a.

igS COURS D'ANALYSE

On démontre, clans les éléments de l'algchic, que si le riipporl des dérivées

aune limUe pour x^a, le rapport

également une limiLe et que ces limites sont les mêmes. Dans a grand nombre de cas, on peut employer les développements it série de la façon suivante. Si l'on pose

:st do voir si le rapport

tend vers une limite quand x' tend vers zéro et de trouver cette limite si elle existe. Si les deux fonctions sont développables par la formule de Taylor, on les développera suivant les puissances de x'; on pourra supprimer une certaine puissance de y, comme faeteur commun au numérateur et au dénominateur, et on verra immédiatement s'il existe une limite. Par exemple, prenons le rapport

pour ,t^û. Ce l'apport prend la forme -^ . Développons les deux ternies suivant les puissanees de .*', On a

log(t + ,r) =

APPLICATION AUX FOSIJIES I?iDETE RM I^'ÉES

Le rapport considéré est donc

Divisant haut eL bas par ,(,■■' cl Aùsant tendre x vers zéro, on trouve comme limite -^ .

Comme deuxième exemple, prenons

pour X ^ 0. Ce rapport prend alors la Ibrme — — , car, x tondant

vers zéro, (l + ar)-^ tend vers e. On peut encore développer le numérateur suivant les puissances croissantes de a:. Il suffit de remarquer que l'on a identiquement

car les deux membres ont même logarithme népérien. Remplaçant log{l + x) par son développement en série, on a

Si, daiis la série