T + TT

o» remplace k piir sa valeur et si en ordonne le résultat pa* rapport aux poîssaiiees (le r, on a

1 11 , «■ = 1— Tr^+-.-i^r+

COL'IIS D'A^A/.rS.

;,+„p..(l l,.+il..+ )

t't le rappori proposé

devient, après suppression tlii liichoiir ,r fin numériilcur et au dénominateur,

La limite clicrdiée est donc ^e.

Forme ^. — Si deux ronctions^(.r) ots(:r) devieniieiit iiilinlei pour ,r = rt, le rapport

prend, pour .v^a, la l'orme ^. En cerivant ce rapport

3 à la fcr

On peut, dans certains cas, trouver directement la lijnile, sans passer par cette transformation. Soit par exemple le rapport

où ji et m sont des nombres positifs. Quand .i augmente indéfiniment, ce rapport prend la (orme p-. Pour trouver sa limite, développons e"'" en série; le rapport devient

Ârri.lCATIO\ AUX formes It\DÉTEItMII\-ÉES

Soit « un uiitier siipérleiir à p. Divisons le iiumérateu li;in>niii)i\teiii' pnr .<■", il vioiil

Quand .c augmente inJéfiniment, le numérateur tenci vers zéro; le dénominateur augmente indéfiniment, car, après les n premiers termes du dénominateur qui tendent vers zéro, viennent des termes tous positifs qui augmentent indéfiniment.

IjC rapport tend donc vers zéro.

Forme OXx . — ■ Cette Ibrme se ramène a l'une des précédentes. Soit, en efi'et, un produit

dans lequel f[:K) devient lUi! pour.c^rt et ';(,/') infini. En écrivant ce produit

on voit qu'il prend lu forjjie -r , et en récrivant

on voit qu'il prend la forme ^.

Considérons par exemple le produit

où m est positif. Quand .x tend vers zéro, ce produit prend la forme OXW-

La fonction log x ne peut pas êti'e développée par la formule de Mac-Laurin. Nous ferons un changement de variable en

20Î COURS D'ANALYSE

Pour faire tendre x vers zéro, il faudra faire croître l iiidétiniment par valeurs positives. On a alors

x'"Iogx:=- — ■/e~"" = ^.

Pour l infini, ce dernier rapport tend vers zéro, d'après l'exemple précédent; le produit ,/:'"log,r tend donc vers zéro avec ,T.

Formes 0", -xf, 1" . — Ces formes se riimènent aux précédentes en prenant les logarithmes des fonctions qui se présentent sous l'une de ces formes.

Ainsi, prenons la fonction

uù, pour .1 = (7.,

Ij'expressioii

prend, pour ^^a, la forme Ox oo.

Soit, par exemple, l'expression

où .r tend vers zéro. On a

log^ = .t:log,£.

Quand :c tend vers zéro, le produit x !og x tend vers zéro, eomme nous venons de le voir ; donc log y tend vers zéro, et y tend vers 1.

Forme oc — x. — Soil une diiFércncc

rt')"rW diins laquelle ^(.r) et '5 (.r) deviennent infinis pour .c^a. On écrira cette diflférence

f'-^b-jm

APPLICATION AUX FODMES lA'DÉTERMl/yÉES 2o3

Quand .e tend vers a, le rnpport

prend la forme — - Si ce rapport tend vers une limite l différente

de 1, le facteur 1 •j-f—- tend vers lu limite 1 — l différente de

zéro, et comme f[;r) devient infini, la quantité considérée augmente au delà de toute limite.

Si le rapport -';■■' ' tend vers 1, le l'acteur 1 y ' tend \

zéro ; le facteur f[x) devient infini, et lu quuntîté considéi prend la forme

Prenons, par exemple, la différence

pour X ^ -[- iX . Cette différence se présente alors sous la forme ^ — se. On constute immédiatement que le rapport des deux radicaux tend vers 1. La différence peut donc avoir une limite. Pour la trouver, écrivons

car, ,'(.■ étant positif,

On a donc

o/i COURS D'A.\ALySE

Quand ,r est ti-ès gi'und, ii et c sont iiioinclfes que 1 et on pei lévclopper{J. + ")~et(l + (')~par la formule fin iHnôine

Remplaçant ii et c par leurs valeurs et ordouuaut les rleux

cries par rapport aux puiasanees de — , on a

(i+„!i=i + AJ^+A,+JL +

La dificreuce è devicnl aloi °^ 3

1 1 A — A- li — B'

et, pour .r^ +x ,

On peut remarquer que, pour ,r = — oo la différence 5 n'est pas indéterminée; elle est infiniment {^rande et négative.

CIIAPlïnE VII