MOYENNES DU POLYNOME ET DE SES DÉRIVÉES

DANS U.X LXTi'RVALLE

LIES TRIGONOMÈTRIQUES

121. Propriétés généi-a!es. — Soit une luuctioii F;/) coiiiiuc

(Jn pcnL toujours, pour simplifier, l'iimcner cet intorvalle i i'iïc — 7; et + Ti en faisant le changement de v;u'iable

On \oit, en cO'ct, que jxjur / = a, .r := — - et pour t = h. Nous poserons

La fonction f (r) est alors connue dans l'intewalle de — 7: à Si cette fonction f[x) est fn:e et continue dans l'intervalle de

■i05 COURS D'ANALYSE

— t: ^ | -^ on peut toujours, pour toutes les valeurs de x comprises dans cet in(e/-v(iUe

la développer en une série convergente de la forme (1) /■(a:} = ffl,+ «jcos,r + i,sma^' + a,cos2.r + i,sm2,r + + «„ cos nx + h„ sin nx +■■■■-,

les coefficients «„, a„ ...., a,„ /j„ ..., /'„,..- étant des consluiitt'.^ convenablement choisies.

Ce développement n'est plus valable pour les vulenrs limites

— 7v et -|-7i: de x. Pour ces deux viileiirs limites la série prend la même valeur.

On démontre fine la somme de cette dernière série n'est égale ni à/'( — -) ni à/'(H-Ti), mais ii la moyenne arithmétique

On démontre également que la série obtenue en intégrant terme à terme nne série telle que (1) est convergente et que la nouvelle série a pour somme une fonction primitive de f[x) dans le même intervalle de — -k à + î:.

Mais on ne peut pas affirmer que la série obtenue en diiféreutiant terme i» terme une série telle que (1) soit convergente. Nous ne démontrerons pas toutes ces propositions, nous nous contenterons de quelques indications.

122- Détermination des coeiScients. — La détermination des coefficients du développement (1) repose sur les faits sui-

1° Si m et n sont deux entiers positifs différents, on a

/ cos)nj:cos/ix dx^^O, f Binmx s'in nx dx^O.

SKIIIES TRIGON 031 ETHIQUE S Ï07

En efftit, ou a identiquement

sin mx sin nx = -^ [cos [m — 11] x — cos {m -\- n) x] ;

Les intégrales indéfinies sont donc

elles s'annulent évidemment aux deux limites.

2" Quels que soient les entiers positifs m et n, qu'ils soient différents ou non, on a

En effet, on a

s in /».r cos H,-f ^= — [sin(/H+«)a--|-sin(Hi — ii)x].

Si m — n n'est pas nul, l'intégrale indéfinie est

1 j- c^,s{m+,i)x cos{m—n)x 1

■2 1 w + « "^ m — Il J'

l'intégrale indéfinie prend les mêmes valeurs pour x = — t. et j~ =^7:; l'intégrale définie est nulle.

Si m = fi, on a

et l'intégrale entre les limites — 7: et -}-t: est encore nulle. 3" On a, n désignant un entier non nul,

/ cos-n.rrfx^Tv, / sin

Eu effet.

yGoosle

o3 COURS D'A^'ALYSE

f.es deux intégrales indéfinies sont donc

Le siiuis s'annule aux limites ; phaeunc des intégrales délinie est donc

Si H=:0, la première intégrale devient

et la deuxième devient nulle.

Ceci posé, prenons le développement supposé

'1) /■(.!■) = «„ H- «, cos .X + i-, sin x + a^ cos 2 .r + h, sin 2 x -\- + «„ cos i)x + /;„ sin n.t-\-

Pour déterminer ci^, n > 0, multiplions les deux membres par eosTZ.ri^.r et intégrons de — 7:à-|-T:. Xous avons, dans le [)ieraier membre,

Dans le deuxième membre, nous avons une somme d'intégralcii i[ui sont lonies nulles, d'après les remarques précédentes, excepté celle qui multiplie a„. On a donc

/ f[x)çusnxdx=a,i j eo&'rixd.t.

Le coefficient de ff„ étant " :

'} cos nx ds

[\\oir 0,„ on mul Toutes les intéj le qui contient I

ff\x) smnxdx^K fsin'nxdx.

De même, pour avoir 0,„ on multiplie par sinnxdx et c tegre de — îiîi+t:. Toutes les intégrales du deuxième me sont nulles sauf celle qui contient /'„ et on a

.■il: m ES TRI GO:\0M ÉTHIQUES

D'où, comme le coelficieiit de /-„ est tî,

tI^'^

Nous avons ainsi tous les coerficients d,, (t^, ..., h^, h^,

Il reste à calculer a^. Pour cela, on multiplie par dx les deux membres du développement et on intègre de — 7:à+T:. Toutes les intégrales du second membre sont nulles, sauf celle qui contieut a„, et on a

j7j.)rfx=».pi=2„.,

On voit que o„ est la valeur moyenne de la fonction f{x) dans l'intervalle de — Tia-^n; a,^ et i„ sont les doubles des valeurs moyennes de f{x)f:,osnx et f{x)'d\\n.r daus le même intervalle.

On peut dire que le développement en série Irigonométrique d'une fonction /'(j;) dans un intervalle — îiii+^vest connu, quand on connaît la valeur moyenne de la fonction f [.r) et des produits f[x)<:,oanx, f[x)sianx dans cet intervalle.

Nous admettrons que le développement ainsi obtenu représente bien f{x), entre les limites — t~ nl-i- t., et est égid à

îiux deux limites k et — -k. I-a démonstration de ces propo: nous entraînerait en dehors du cadre que nous nous s tracé.

- Soit à développer la Tonction f{x) = ^x,

■entre les limites — - et -

QiO COURS D'A^'ALYS^;

Résumons les valeurs des ooefficients a^, n,,, b,,, trouvées plus haut

(2) î n, = ±fflr}co.n.r,l.r.

Actuellement

car l'intégrale indéfinie ~j- prend les mémos valeurs aux cîei limites. En général, on aura

En effet, la lonetion sous le signe [

est impaire; elle eliange de signe avec x. Dans l'intégrale définie de — 7-. à +7:, la différentielle -ir- cos n,r (fe , prend doue des

valeurs deux à deux égales et de signes contraires, et la de ces valeurs est iiuUe.

Calculons maintenant

1 /■+^ X K^ — / -^sinnxdx, (h=^1, 2, oo ),

Nous intégrerons par parties en faisant

l'intégrale peut alors s'écrire

s Jim ES TiUGO.XOMETllIQUES -ii

Lii dernière iiiLégralc est nulle. La piU'tie intégrée donne

car

Telle est l'intégrale qui figure dans /'„. Ponr avoir h,^, il Tant 1, diviser par ti; donc

Faisant /i=^i,2, ..., on a

D'où le développement demandé ;

Ce développement représente la fonction -j^entrc les limites — ■7:et + -. Aux limites, il ne représente plus la fonction, caria série s'annule ponr .v = ± 7;. La somme de la série est alors égale

qui est bien 0 dans le cas actuel, car

/;.<-!=|-, /■(''!+rt-^)=o.

124- Représentation graphique. — Construisons la courbe définie par l'équation

(4) ,j = .in,-^.;n2,+ ^.in3.- ,

COUR.'i D'A,\Af.rSl!

■u, pour abréger,

a (x) désig'naiit la lonction de finie par la somme de la série

d'après les propriétés élémentaires du sÎqus. Marquons alors, sur Ox, les points (fig. 60),

d'iihsoisses

et les points symétriques

J'abscisscs

Si on connaît la courbe entre les ordonnées des points A' et A, on la connaît pour toutes les valeurs de x, car la relation

montre que l'ordonnée est la même aux points correspondants de tous les segments A' A, A A,, A,Aj, ... C'est là un fait analogue à celui qui se présente pour la sinusoïde, dont il suffit d'avoir tracé une ondulation autre —t; et -|-7ï pour pouvoir construire

seutes trigonometriques -n'i

toute la courbe en transportant le long de O.r la môme ondulation.

Construisons donc la courbe donnée entre les ordonnées des points A' et A, c'est-à-dire pour .x compris entre — - et + 7:.

Dans cet intervalle, la somme de la série est égale à -^ , et l'ordonnée y de la coiii'be est identique à l'ordonnée

du segment de droite B'B, passant par O et ayant pour coeffi-

cient angulaire -^ . La courbe est donc formée de ce segment

de droite entre les limites — ■neï+T:, c'est-à-dire entre les droites A'B' et AB. Quand x est égal att — = , e étant positif et très petit, l'ordonnée de la courbe est égale à celle de la droite, quelque petit que soit s; mais pour

l'ordonnée de la droite est -^ -^ AB et celle de la courbe est 0.

11 y a donc, dans la courbe, une disconlinuitc pour .v = 7z. De même, pour ,r voisin de — -

l'ordonnée de la courbe est égale à celle de la droite B'B ; mais

l'ordonnée de la droîle est A'H', celle de la courbe (I. Rn résumé dans l'intervalle de — 7: à +-, la courbe

se confond avec le segment de droite B'B, mais elle s'en sépare brusquement aux limites. Elle se compose de tous les points de la droite B'B situés entre les extrémités, mais les points obtenus pourar=^±7i: ne sont pas les extrémités B' et B; ce sont les points A' et A.

étant ainsi représeiilée graphiquement dans rinteivalle de — ■:; + t:, il suffit, pour avoir la représentation graphique de cette fonetion dans tout intervalle, de reproduire périodiquement le même tracé entre les points AA,, A,Aj, ..., A'A'„ A',A'j ... comme le montre ia figure 60. La courbe

se compose donc d'une infinité de segments de droites égaux et parallèles B'B, BB„ B,Bj ... et des points A', A, Aj, Aj ..., les

extrémités de ces segments n'appartenant pus l\ la courbe et devant être remplacés par les points A'^ A, \,...

On voit bien, par cette discussion détaillée, comment la série trouvée représente !a fonction -^ entre les limites — Ttet-j-T:.

Reiiaiique. — L'exemple que nous venons de traiter nous montre que l'on ne peut pas toujours diCférentier les séries trigonométriques.

En eJfet, si on prenait les dérivées des divers termes de la série (31, on aurait la séi'ie

qui est manifestement divergente, car I ne tend pas vers zéro.

125- Autre exemple. Développement de y- ■ — On pourra appliquer, de même, la méthode générale au développement de -y- . Les intégrales donnant les coefficients se calculeront facilement a l'aide de l'intégration par parties.

Mais, nous pouvons déduire ce développement de celui de y .

(3) y = sin a- — -^ sin 2 .:t; + -^ sin 3 a: — ,

en admettant que, pour intégrer une série trigonométrique, il

■■iÉRrES TBIGO.VOMÉTHIQUFS 3i5

ïiilllt d'iiiLég'iui' terme II terme,. On a ainsi, en intégrant les deux membres de (3) et désignant par n^ une constante d'intégration,

où i! reste à déterminer «„. Pour cela, d'après la méthode générale, on multiplie les deux membres par dx et on intègre de — Tt ii-j-7ï. On a alors, puisque toutes les intégrales du dei membre sont nulles, sauf la première,

Donc

,'6) ---r=-^ (;os,f+-^eoB2x — -T^cos 3^+

Actuelleincnt, la l'onction développée en série est

La séi-ie est égale à f{x), entre les limites — ;;ct + 7^. Aux limites, la série prend la valeur

la série pour ,c^±t. est égale à la fonction. Le développement est donc valable pour

Si l'on construit la courbe

'JiG COURS D'ANALYSE

cette coiirlje, dniis riiitcrvalle — t: ;(~|-t: cf. aux limites de l'ii tevvalle, cuïiicide avec l'arc de parabole H'OB (fig. Gl).

La combe tout entière s'obtient en répélant indéfini in eut le même arc de parabole dans tous tes intervalles (t:, 13 ti:)(3îî, 5 tt),... etc. Les points B', B,... sont des points anguleux.

EXPRESSION D'UN POLYNOME DES VALEURS MOYENNES DU POLYNOME ET DE SES DÉRIVÉES DANS UN INTERVALLE

126. Surune suite de polynômes {']. — Considérons un intervalle do — /( à + /; cL formons une suite de polynômes en x

de degrés respectifs 0, 1, 2, ..., w, possédant les propriétés suivantes :

1" Le premier polynôme P„^l. Sa valeur moyenne dans l'intervalle ( — /(,+/') est donc i.

2" On a, pour n>0, -^ = P„,.

3° La valeur moyenne de cbacun des polynômes F,, P^, ,.., P„, dans l'intervalle de — h ii -|- /(, est nulle.

Il est facile de voir que ces propriétés déterminent complètement les polynômes et permettent de les former de procbe en proche.

(i] Voyez Lii.iuTj':, Complcs rendus, i4 juin i88o, Journal dt' Lioiivillc,

ExpnEssrO!\' D'un polynoiie, etc.

Calcul de'?,. —On a

(■j «tiiiit nue constiirite (Viiitùgriitioii, Cette fonslantc se détermine par la propriété (3°) en éci'ivaiit que la valeur moyenne de Pi entre — /; et + h est nulle :

f\\dx =0, f\x — c.) dx = a.

KITectuaut l'iiitégi-atiou, on Li-ouve que l'intégrale se l'édult à

Donc t'j^O, ot le premier polvnome est : P, = .r.

Calcul de, l\. — Ou a

doue

i\ étant une eonstante d'intégration (jue l'on détermine en écri i]\dj: = Q;

et le denxiéme polynôme P^ est

yGoosle

i8 COURS D'ANALYSE

Calcul de l\. — On «

ot iûnsi de suite.

Convenons de désigner par

; moj- -i (x) I la valeur moyenne de la ibnetloii -^ [.r) dans l'inlcrvalle de

Nous pourrons résumer les propriétés des polynômes Pn (,r) dans le tableau suivant :

P„==l, I moyP„ ] =- I,

127. Expression d'un polynôme en fonction des valeurs moyennes de ce polynôme et de ses dérivées dans l'intervB.lle de — h à + 11.

Soit^(x) un polynôme en xde degré p. Nous voulons déterminer ce polynôme connaissant les valeurs moyennes de ce polynôme f{T) et de ses dérivées fix), f"{x), ...■,f'%r) dans l'intervalle de — kk-^h, c'est-à-dire connaissant

i nmyf(;,) | , | moyfW | | moy ,'»(») ] ,

EXPHESSIOi\ D'UN POLYNOME. ETC. 'Jig

Écrivons le polynôme inconnu f{^r) sous la forme

où P„, P,, ,Pj, sont les polynômes que nous venons de définir,

n„, o,, ...,«;, des constantes. Pour déterminer ces constantes, prenons d'abord la valeur moyenne des deux membres de f{x) dans l'intcrvLdle de — /i il + /(. Comme la valeur moyenne d'une somme est la somme des valeurs moyennes de ses parties et que

j moy P„ I = 0,

dès que n > 1, on a

I moy/» !=.«., |moyPJ=«,,

On a ainsi la valeur de ii„.

Prenons ensuite les dérivées des deux membres de la formule ri) en nous rappelant que P„=- 1, ^■^- = P, ., pour n > 1. Nous

(2) f'(^,-)=^a,\\-]-a,i\^- + fl,lV,

Prenant les valeurs moyennes des deux mcmjjres, on trouve, comme plus haut,

Dérivant de nouveau les deux membres par rapport à x,

puis, prenant les valeurs moyennes, on a I moyr(«) I -»..

Et ainsi de suite jusqu'à

On a donc les valeurs des coefTicicnls «„, «,, ...,«;, et on peut

2î0 COURS D'A.VÂLYSE

écrire le polynôme cherché sous la forme suiviinte où on a remplacé Pu par sa valeur 1 :

(3) f(i) = lmojnx) I + 1 moj-f H 1 P.+ l m„y /■"(,») 1 P, +....+ln.oy/'"HIP,..

Telle est la Tormule demandée. Il serait aisé de vérifier que, quand h tend vers zéro, elle se réduit à la formule de Mac-Lau- ,.;„ ,,„,„■ le polj-„>,„= /■(,,),

128. Extension à une fonction quelconque f'{.i"/. — On osL conduit, par analogie avec la formule de Mac-Laurin, à étendre la formule ci-dessus à une fonction /'(x) quelconque admettant des dérivées de tous les ordres entre — /< et + /*. Le deuxième membre devient alors une série, et on parvient au développe-

(4) f{.r) = 1 mov /■;,,■) 1 + 1 moyf ^ ] P, + [ m»)

+ + lm„y/-«(,.)[P.+

Mais cette formule n'est exacte que dans des

cas difficiles ii

reconnaître. Pour s'en convaincre, il auffit de ren

larquer que, si

on voulait l'appliquer ù la fonction

AW = A..i„:ïî+B.co.=i,

oii V est un entier non nul. A, et B, des constante;

i, on trouverait

pour tous les coefficients

imoy/;(.r)l, \ moy fj {.r) \ ,...

|moy/'';>(.r)l.

lu waleur zéro. Le développement n'est donc pa

s applicable à

cette fonction.

11 en serait de même pour la fonction /'(a-) obtenue en ajoutant des fonctions telles que f, (*•), dans lesquelles on donnerait à v une suite quelconque de valeurs entières

Néanmoins cette série (4) peut rendre des services dans la pratique.