L'ÉLÉMENT DIFFÉRENTIEL DEVIENT INFINI

129. L'élément différentiel devient iniini à l'une des limites. — Quanti on a déliiii l'iiitégralo

on a supposé que la (onction /"(.r) restait finie pour toutes les valeurs de *' comprises entre « et i ou cgiiles à a ou à b. L'intégrale représente alors l'iiire clii segment de l;i courbe

entre les ordonnées d'abscisses a et li.

Supposons que f{a:) reste finie pour .t = a et pour r compris entre « et i, mais devienne infinie pour.i'^Zi. Pour fixer les idées, nous admettrons que la limite supérieure i est plus grande que n, et que f[x) decienne infinie en consercanl un signe constant, le signe H- par exemple. La courbe

a alors pour asymptote la droite BB' d'abscisse b, comme le montre la figure 62. Nous supposons que l'ordonnée AA' a pour abscisse a.

Pour voir si l'on peut attribuer un sens à l'intégrale I, on procède comme il suit. Au lieu d'intégrer de a a b, on intègre de a à un nombre plus petit que h mais très voisin de b, c'est-ii-dïre

cle ail b tégrale

coins D'ANALYSE

i étant un nombre /Jos/;^/' très jinlil. On a alors l'i

qui a un sens parfaitement défini; si M'M est l'ordonnée ayant pour abscisse b — s, cette intégrale mesure l'aire du segment AA'M'M. On fait ensuite tendre s, vers zéro, c'est-à-dire tendre le point M vers le point B.

Quand î est très petit, l'ordonnée

MM'= f[h — <.

tig. &,„ est très grande, et, quand î tend vers zéro,

l'intégrale J, c'est-à-dire l'aire A A' M' M, va évidemment en augmentant. Deux cas peuvent alors se présenter : 1° Quand e tend vers zéro, l'intégrale J tend vers une limite : cette limite est, par définition, ce qu'on appelle valeur de l'intégrale

Dans ce cas, l'aire comprise entre l'ordonnée AA', la courbe et l'asymptote BB' est finie.

2° Quand s tend vers zéro, l'intégrale J augmente indéfiniment. On diL alors que l'intégrale

jf(s) i

est infinie. L'aire comprise entre la courbe, l'ordoi l'asymptote est infinie.

si l'intégrale

L'ÉLÉMENT DlffÉ ItENTlEL DErlLWT !XF!.\!

osl finie ou non. Ponr cela, calculons d'iiliord

E positif et très potil. L'intégrale indéfinie étant

Quand z tend vers zéro, J tend vers 2 y li — a. L'iutégrale proposée a donc un sens et on a

Soit 1

niiiiiti; liant

Nou.

iiUonH voir

qne

nntég

raie rf.c

est in fin

ie. En effet,

ea!

il'aliortl - rf.r

L'intégrale indéfinie étant -^ , on a

expression qui devient infinie quand s tend vers zéro,

130- Cas particulier où l'intégrale est de la forme j 7y^^■^•,^„^

224 COURS D'ANALYSE

Soit II un nombre positif, entier ou rraclloniiaire, coiisitlùrons l'intégrale définie

dont l'élément difierentiel devient infini pour x^b. Nous allons montrer que cette intégrale est finie quand h< 1, infime quand «^ 1.

En effet, supposons d'abord ii difl'éreutde 1, et talculuns l'intégrale

où î est positil et très petit. L'élément difl'érenlicl pouvant

l'intégrale indéfinie est et l'intégrale définie

Si "<1, 1 — n est positif, t est élevé îi une puissance positive, et, quand s tend vers zéro, J tend vers la limite

L'intégrale proposée est alors égale à celte limite.

Si n > 1, 1 — w est négatif, s, est élevé à une puissance négative, et, quand e tend vers zéro, J augmente indéfiniment. L'intégrale proposée est alors infinie.

Nous avons réservé le cas de«=^i. On a, alors

car l'intégrale indéfinie est — iog(i — x). Quand s tend vers

L'ÉLÉilE^iT DlFFÉBElfTJEL aEVIE^T I.\Fiyi 2i5

zéro, J augmente indéfiniment; l'intégi'ule proposée est donc infinie ponv ;( ^ 1 .