Intégrales comparables aux précédentes. — Soit une

où f[x) est Knie (juand x est égal il a ou compris entre a et b, mais augmente indéfiniment par valeurs positives quLind x tend

Considérons le produit

où /( est un nom/iiv. positif. Quand .i' tend vers h., ce produit prend la forme OX!^- Supposons que l'on puisse dclcrminer l'exposant n de telle façon que le produit

tende vers une limite l quand ,r tond vers h. Alors, on peut énoncer la règle suiviinte ; i" Si, pour une certaine valeur de n moindre que l, le produit

a une limite l, l'intégrale proposée est finie.

2° Si, pour une certaine valeur de n supérieure ou égale à 1, le produit

(4-,r)YW

a une limite l différente de zéro, l'intégrale proposée est infinie.

Premier cas. — Supposons d'abord qu'il existe un nombre n moindi'e que 1, tel que le produit

tende vers une limite l, limite qui peut d'ailleurs être nulle, quand jn tend vers b. Dans ces conditions, il est évident que ce produit est très voisin de l quand a: est très voisin de h. Parta-

geons alors l'intervalle (l'iiitôgriitloii [<i , h) en tlenx parties, l'iuie de fl à c et l'autre de c à /', (; ét;mt plus petit que h, ni;(is très voisin de h.

I/intégrale I s'écrit

La première intégrale, prise entre les limites a et c, est finie. Il reste à montrer que l'autre intégrale est aussi finie. En effet, le produit

tendant vers l, si on appelle M un nombre positii' iixe supérieur à cette limite l, il est évident que, x étant très voisin de O, le produit (ô — x)"f{x), qui est très voisin de l, est inférieur ii M. On peut donc choisir v assez voisin de Ii pour f[ue, x étant compris entre c et b, on ait

(b — :rj"^(j:J < M, JIùs on a «lors (n" 32)

Comme M est constant, on peut le faire sortir du signe d'intégration; et on a, dans le deuxième inembie, l'intégrale

qui est finie, car /; < J . L'intégrale du premier membre / /'(x) dx étant moindre qu'une quantité finie est finie. Donc, dans ce cas, {n< 1) l'intégrale proposée est fi/iie.

Deuxième cas. — Supposons maintenant qu'il existe un nombre n supérieur ou égal à 1, tel que le produit

C—'Tfi').

Éf.LME.yr blFFEIlEXTIEL DEVIES

tende vers une limite l différente de .zéro, €[u;hicI j; Lcnd vers h. On pourra écrire comme plus haut

c étant moindre que b, mais très rapproché de b. La première intégrale est finie; nous allons montrer que la deuxième est infinie. Soit «/, un nombre positif moindre que l,

Quand .1 est très voisin de b, le produit

(»-■ «;yw

est très voisin de l et, par snite, supérieur ii m. On peut donc prendre c assez voisin de li pour que, dans tout l'intervalle (c, h),

ff'.^d.>f-ri

Or l'intégrale du deuxième membre est infinie car n ^ 1, celle du premier membre est donc également infinie. Dans ce cas, l'intégrale proposée est infinie,

Remauque. — >[ous avons supposé, pour fixer les idées, que f{x) devient infinie en restant positive, quand x tend vers b. Les mêmes conclusions s'appliquent au cas où f[j;) devient infinie en restant négative quand x tend vers h. En effet, dans cette dernière hypothèse, la courbe

s'éloigne à l'infinî poni-.i-^=// au-dessous de l'axe Oj\ U suffirait donc de cliaiif^or le sens de 0>j pour èlrc ramené au cas pvécé-

228 COURS iJ'AXAI.rSE