L'élément différentiel devient inûni pour lit limite

inférieure. — Nous nvons supposé que l'élément différentiel /"(.r) devient infini quand .r est égal à la limite supérieure ù. Les mêmes conclusions subsisteraient évidemment si f[x) devenait infini quand .r est égal a la limite inférieure a. Il suffirait, pour ramener ce cas à celui qui a été traité en détail, de changer le sens de l'axe 0^ dans le tracé de la courbe y = /"(■*") ■ Pour voir si l'intégrale

a un sens (i> n), on considérera ie produit (a-i)-/-(x),

S'il existe un nombre positif n, plus petit que 1, tel que ce produit ait une limite, l'intégrale est finie.

S'il existe un nombre n égal ou supérieur à 1, tel que ce produit ait une limite différente de 0, l'intégrale est infinie.

devient infinie pour .t := 1. On cherchera s'il existe un nombre n, tel que le produit

tende vers une limite pour .r = 1.

L'ELL'ME.yr DIFFERENTIEL DEYlE>iT l:\FI.\J

volt qu'on prenant h ^ -y , le produit [

tend vers -j= quand ,r tend vers i.

Le nombre /( étant moindi'e que 1, l'intégrale a un sens. 11. Soit l'iutégralc

iliins laquelle le coel'ficient de d.i

est infini négatif jinur .t =0, celte fonction étant d'ailleurs finie pour toutes les antres valeurs de s entre Dct 1. Ici « =0; le produit il considérer (.» — a)" f [x) est donc j^Mogj-.

Il faut voir comment se comporte ce produit pour .c^^i^O. Or, quelle que soît la valeur positive attribuée il n, ce produit tend vers zéro {p. 202). l^n prenant par exemple, « = ^ ■

./;^log.r

tend donc vers une limite quand x tend vers zéro. L'exposant ii étant moindre que 1, l'intégrale a un sens.

.Hi rélcineiiL cliH'éi-eiitiel dcvieiU Infini pour .r ^ 1. F.n écrivant on voit immédiatement que le produit

îSo COURS D'ANALYSE

tend vei'B tj- pour ,t = 1. Cette limite étant dideteiilc de zéro, et l'exposant n égal ù i, l'intégrale est infinie.

Pour se rendre eompte de ce résultat, on peut dire <[Uf,

dans le voisinage de x:^ 1, la fonction ^j— ^ devient iufiuii'

— / ~ -, intégrale qui devient iiHinie pour ,f^^ 1 .