Différentielle d'une fonction de fonction. — Soit
tétant la variable indépendante.
On sait que la dérivée de y par rapport à .r est donnée par I formule
INFÏNIMIÙNT PETITS
Multiplions les deux ■ pai' définition,
DlFFÉRENTIEf.r.F.S
par dx, et rappelons-nous
dji = i/j. (l.T, du ■= ii[ d.v.
tomme .si ii èliiU in vnriahle indépendante. Ainsi, tandis que, dans lu notation des dérivées, on a deux formules difFcreiites pour exprimer la dérivée première de y par rapport à jr, suivant que y est exprimé directement en x ou est une fonction de fonction de j:, dans la notation dlfFi^rentirlle on a la mt^me formule pour les deux cas.
11. Différentielle d'une fonction composée. — - Pour obtenir les différentielles premières de toutesles fonctions d'une variable, il suffit de reprendre les résultats établis en algèbre pour la dérivation des fonctions d'une variable et de les traduire dans la notation différentielle.
Somme. — Soient /
V des
la
Multiplions par dx et remplaçons y'^ dx, i ydv leurs valeurs dy, du, de, dw, il vient
dy = du -\- dv -\- dtv.
Produit. — Considérons le produit
' dx, oi dx,
et, en multipliant par dx,
dy ^ nd',>
yGoosle
Quotient.
et, en multipliant par t/.f,
wlu — iidv
Fonction composée. — Soit enfin le cas général où y est nne l'onction donnée de «, c, w, ces quantités étant fonctions de x.
En désignant, suivant l'usage, par f^, f[, f[„ les dérivées partielles de la fonction /■(«, c, w), prises successivement par rapport il u, S', n', on a trouvé en algèbre
on en clédiiil, eu multipliant par (/x,
,ly = fl du + fl dp + /,"; dw.
12- Remarque sur les différentielles premières. — On voit, d'après ces règles dont la dernière comprend toutes les précédentes, que, pour prendre la différentielle première d'une fonction d'une variable, il n'est pas nécessaire de savoir quelle est la cartable indépendante choisie ; en effet, si l'on a
V= fi.". ",«■).
il suffit de savoir que ii, v, w sont fonctions d'une variable indépendante, d'ailleurs non spécifiée, pour écrire la difTérentielle
dy = fl du + fidp + /î, dw.
Celle propriété ne s'étend pas aux différentielles d'ordre siipé^ rieur dont l'expression peut changer avec le choix de la variaJde indépendante.
