Défmition. — Soit une intégrale do la forme

Cotte notation n'a aucun sens par elle-même, car jusqu'ici nous avons donné toutes les définitions en supposant les limites finies. Pour voir si l'on peut attribuer un sens ii l'intégrale considérée, on considère l'intégrale auxiliaire

où la liniito supérieure est iinic. Puis, dans cette intégrale, on l'ait croître II indéfiniment. Alors deux cas se présentent :

23G coins D■.l^■.i/.ysl■:

l' Si l'Intégrale / f{.i) d.r Lend vers iiiio limite quand /' augmente indéfiniment, celte limite cs\.,j)ûr dèfinllîon, la valeur de l'intégrale

2" Si l'intégrale l/(i') d.c ne tend vers aueune limite ([iiand h augmente indéfiniment, soit qu'elie devienne infinie, soît qu'elle devienne indéterminée, on dit que la notation

n'a aiienn sens ; ou eneore on dit, sulvaiU les cas, que l'intégrale

fsl ii'piiie ou indélerminèc.

KXKMPLKS.— I. Soil

Considérons l'intégrale auxiliaire

comme on le voit immédiatement en rennu'qaaut qnc l'intégrale indéfinie est — e~'. Quand ir augmente indéfiniment, e"'' tend vers zéro. L'intégrale auxiliaire tend donc vers la limite 1; l'on a alors

Géométriquement, si Toi) construit la courbe

qui est asymptote à O.r, notre raisonnement montre que l'aire comprise entre la courbe, l'axe Oy et l'asvmptote O.c est finie et a pour valeur 1,

lyTÉGB.iLES D.iXS LESQUELLES ISE DKS LIMITES EST IMIM

]I. Soit riiitôgviile

expression qui devient iiifinir; avec l>. L'intégrale proposée est donc infinie.

La courbe

st eiicoïc asymptote il O.c; mais l'aire esl itcUiellement infinie, m. Soit enfin

Quand b augmente indéfiniment, siji b n'a aucune limite, tout en restant compris entre — 1 et -|- i. L'intégrale proposée est donc indôterniinèe.

138. Examen de quelques cas où la fonction f{i] c •n sig'ne constant pour de très grandes valeurs de .r et tend 'ers zéro quand. i' augmente indèûniment.

1° Caa particulier. Soit l'intégrale

où j) est un exposant positif quelconque et a un nombre que nous supposonspositif, pour éviter quela valeur zéro, rendant —-infini, soit comprise dans l'intervalle d'intégration.

La fonction — - conserve évidemment un signe constant quandyj

augmente indéfiniment. Nous allons montrer (|ne : l'intégrale a un sens quand p> i; l'intégrale est infinie quand j)<i. En effet, calculons d'abord l'intégrale auxiliaire

Si /J est plus grand r[ue 1, 1 — p est négatif et, quand b croit indéfiniment, b^~^' tend vers zéro. L'intégrale a doue alors une limite, et on peut écrire

Si/> est inférieur à 1, 1 — p est positif et, <[ua

Lul h cm

it itido-

finiment, i'^^ croit aussi au delà de toute iimilc ;

riiilcgii

posée est donc alors infinie.

Si;j = l, on a

/ '-^--logi-log.».

expression qui devient infinie avec h. Donc

Si on consliuil la i:ouibc

cette courbe a pour asymptote O.r ; l'aire comprise entre une ordonnée fixe, la courbe et l'asymptote a une valeur finie pour p>i; elle est infinie pour p^i.

1" Intégrales se J'amenanl aux précédentes . Soit ime intégrale

dans laquelle la fonction f[x) conserve un signe constant, le sîgne+ par exemple, quand j: augmente indéfiniment ; nous supposerons, de plus, que cette fonction tende vers zéro quand .r devient iuiiui.

INTÉGRALES DAKS LESQUELLES UNE DES LIMITES EST INFINIE aSg

Si on construit la courbe 1/ = f{i:), cette courbe peiit couper Ox un nombre quelconque de fois, mais, a partir d'une abscisse déterminée, suffisamment grande, elle reste d'un même côté de 0^, iiu-dessus par exemple, et elle est asymptote à Oa:. Nous voulons donner une règle pour reconnaître dans des cas simples, si l'aire comprise entre la courbe et Taxe des x est finie ou non.

Si on considère deux points C et B' de la courbe dans la par-

tie qui est et demeure au-dessus de Ox et si on appelle c et h les abscisses de ces deux points, CC et BB' leurs ordonnées, en supposant

l»c, on peut écrire

La première intégrale du deuxième membre a un sens bien défini ; la deuxième représentant l'aire CC'B'B croît constamment avec h ; il s'agît de voir si elle reste finie quand b devient infini.

Pour cela, on considère le produit

OÙ /; esi posilif. Ce produit se présente sous la forme

« XO

quand X augmente indéfiniment. On cherche si, par un choix convenable de p, on ne peut pas amener ce produit à avoir une limite.

1" ?>\,p ayant une certaine valeur supérieure it i, le produit x''f{j:'j tend vers une limite l, l'intégrale proposée est finie.

a4o COURS D'ANALYSE

2" Si, p Hyaiit une certaine valeur inférieure ou égale u 1, le produit x^'fix) tend vers une limite l, différente de zéro, l'Intégrale proposée est infinie.

Premier cas. — Supposons craborc! qu'il existe un nombre ji supérieur \\ i, tel que le pruduiL

tende vers une limite /, limite qui peut d'ailleurs être nulle, quand X augmente indéfiniment. Dans ces conditions, il est évident que ce produit est très voisin de l quand ^ est très grand.

Parta :: et de

La pv, A moiitn

s alors l'intervalle de û à « en deux parties de a ;i à 00 , c étant très grand. On a

mière intégrale du deuxième membre est finie; il reste f que la deuxième est aussi finie. Or, le prdduil

tendant vers l pour x infini, si on appelle M un nombre positif fixe supérieur à ^, il est évident que, .v étant très grand, le produit x''f{x), qui est très voisin de l, est inférieur à M. On peut donc choisir c assez grand pour que, x étant supérieur à c, on ait

Comme p est plus grand que 1, la deuxième intégrale est finie; la première, qui est moindre, est finie également, et l'intégrale proposée est finie.

Deuxième cas. — Supp<isons maintenant qu'il existe un nombre p inférieur ou égal à 1, tel que le produit

n'TEGRÀLES DANS LESQUELLES U?;E DES LIMITES EST lyEINIE a^i

tende vers iiiie lîmile l, dî/férenle de xéro, pour x = ce . Oii poiirrii écrire l'intégrale proposée, comme plus haut,

c étant très grand. La première intégrale est fuiie ; nous allons voir que la deuxième est infinie.

Soit m un nombre positif moindre que l

Quand x est très grand, le produit *''/'(,«) est très voisin de l et, par suite, supérieur à m. On peut donc prendre c assez grand pour que, tétant supérieur iie, on ait

Alors

Comme p ^ 1, l'intégrale du deuxième membre est infinie, celle du premier également. L'intégrale proposée est donc infinie.