COUn.'i B'AnALySE

II, Soit rintôurule

pw,

actuellement

Or, /; ôlaiit un oxposaiit positif queleoiKjue, le produit .,'f{x) = :^'-e-\

tend vers zéro pour x infini . On peut donc prendre p = 2, pour fixer les idées, et dire que ,r^e~^ tend vers zéro quand x augmente indéfiniment. L'exposant /> étant supéi'îour à 1, l'intégrale

On a

im-

Donc

le produit

i/l+Jr

tend vers 1 quand x augmente indéfiniment. L'exposant yj étant égal à 1, et la limite de x f[x) différente de zéro, l'intégrale considérée est infinie.

On peut se rendre compte de ce fait en remarquant que, pour outres grand, la valeur principale de

est — et que l'Intégrale proposée se compoi qui est infinie avec x.

INTÉGRALES fl^.VS LESQUELLES UNE DES UMITES EST INFINIE a^S

140. Remarque. — Nous avons, pour simplifier, supposé que f[x) conserve le même signe quand x est supérieur à un nombre fixe suffisamment grand el que f[x) tend vers zéro quand x devient infini. 11 ne faudrait pas croire que cette dernière condition est nécessaire pour que l'intégrale

\(lx,

soit finie, quand f{-v) consf grand.

cctLc fonction conserve le signe -|- qi ment; mais elle ne tend pas vers zérc valeur de la forme /c-t:, k étant un enti' que l'on veut, on a

La courbe

e augmente indéfinisi on donne à x une

est donc au-dessus de Ox elle louche la droite ji ^ 1

elle n'est pas asymptote à Ox, car en tons les points ayant pour abscisses

0,77,2;:, ,/,-, .... Pour la tracer, on peut remarquer qu'elle

a courbe y = — — ■— ■ ^- en tous les points d'aliscisses

touche auaai lu muiuc ij — ■ -, — ■— ■ .- q- fi- J. H-,r

Cependant l'intégrale

est finie. Pour le voir, on ne peut pas employer la méthode précédente qui suppose que la courbe est asymptote a Ox.

Nous emploierons une méthode qui réussit dans beaucoup de cas et qui consiste i\ partager l'aire comprise entre la courbe et l'axe Ox en tranches, par des ordonnées, et h vérifier que la série formée par la somme de ces tranches est convergente. Nous partagerons ici l'aire par les verticales d'abscisses

Nous aurons alors en appelant ii^,!i„...,ii,„ les aires de ces tranches qui sont toutes positives,

«„ = fflx) dx, //, ^ ffix) dx,

Mettons à pari ii„, nous allons montrer que la série

est convergeitle. l'our cohi, nous chcicheroiis une limite supérieure de ji„. Si, dans l'intégrale ;(„. on fait

(«^ + ?)>>«'-'-l, ç- dt

"" V„ 1+(hV— Ijsin^Z '

r- dt

" Jo COS^i + 72'7:'sin^ t

Cette intégrale est aisée à évaluer; on peut écrire, en divisant haut et bas par cos" t,

1 >'- d i/rr,' tang/)

et, comme

vi„„g,)'

INTÉGRALES DANS DESQUELLES IWE DES LIMITES EST Ii\TII\'IE 2^5

et, en intégrant

"« < -, ., ai-ctiuig [«"-tan g l]\ .

Or, quand i part de zéro, l'arc tangente part de 0; quand/ = -^ , l'arc tangente est égal à -7^ et, / continuant à croître jusciu'à tt, l'arc tangente croît jusqu'il ti. Donc, pour i =^ 0, l'intcgriile indéfinie est nulle ; pour !. -^= t:, elle est égale a t:, et on a

a donc ses termes respectivement plus petits que ceux de la série convergente

Elle est donc convergente et l'iûre comprise entre la courbe et Ox a une valeur finie.

Ce résultat tient à ce que, dans la courbe, les ondulations qui vont toucher la droite ^=1, deviennent de plus en plus étroites, de telle façon que la somme de leurs aires est finie.

141- Esamen de quelques cas où, x croissant indéfiniment, f (s) change constamment de signe.

Peemier exemple. — Soit l'intégrale Actuellement, lit fonction à intégrer

est, quelque grand que soil x, tantôt positive et tantôt négative.

^6 COUnS D'ANALYSE

Construisons la courbe

quanil X viirie de 0 à + x : celle coiirbu part du point x = 0, 7/ =; 1 ; elle coupe Qx aux points

l,a courbe a la forme d'une sinusoïde, mais l'ordonnée maximum de chaque onde est moindre que l'ordonnée maximum de la précédente [fig. (j7J.

Appelons »,, «5, — , H„ies valeurs absolues des aires des diverses ondulations. On aura

en général

La ligure montre que les aires successives ii„u^, — , w„^.i, vont en décroissant et que l'aire «,,^1 tend vers zéro, quand n devient infini. C'est ce qu'on vérifie sur l'intégrale précédente donnant ii„i,. Faisons-y le changement de variable

les nouvelles limites pour ( sont 0 et 7:; on a de plus

sin^^sin(H-H- ;) = ( — l)''sin;; donc

yGoosle

IKTÉGBALES DAAS LESQUELLES CNE DES LIMITES EST IXFINIE Ml

Cette intégrale diminue évidemment quand n ai tend vers zéro quand n devient infini. D'après cela, l'intégrale proposée

qui est la somme algébrique des aires des diverses undes comprises entre la conrbe et l'axe Ox est la limite de la somme de la série

Cette série a ses termes alternativement positifs et i chaque terme est plus petit que le précédent et le terme «„ tend vers zéro. La série est donc convergente et l'intégrale considérée a une valeur déterminée égale à la somme de la série.

Nous verrons plus loin que cette valeur est -y .

Deuxième exemple. Iiiiégrales de Fresnel. i sin.r^ dx, j cos .ï^ dj:. — Ces intégrales se présentent dans la " théorie de la diffraction de la lumière. Nous allons montrer qu'elles ont un sens. Prenons la première et construisons la courbe

pour ies valeurs positives de x. La ci coupe l'axe O.e aux points

Lrbc part de l'origine, elle

>^ = Vkr..

Elle est ondulée comme une sinusoïde; chaque ondulation a pour ordonnée maximum ou minimum -|-1 ou — 1. Mais les ondulations vont en se resserrant de plus en plus. En effet, !a distance de deux points d'intersection consécutifs avec O.r, A„A„^j, est

2iS COURS p' ANALYSE

u éoi'it, en ranltipliiint et divisant par la somme tîes radi-

caux,

Celte distance décroît quand ii augmente et tend vers zéro. On en conclut, comme le montre la forme de la courbe, que si

désignent les valeiii's absolues des aires des diverses ondes, on a

Jl^> »5>«; >",n

et Uni »,i = U ponr x=^rj- .

L'intégrale / sin x^ d.x, étant égale ii la somme algébrique de ces aires, est égale à la somme de la série suivante à termes alternativement positifs cl négatifs

Cette série est convergente, puisque ses termes décroissent constamment et indéfiniment. L'intégrale Considérée a donc un sens. Le même raisonnement s'applique à

/ cos,f^(/j'.

On démontre que la valeur uiimécique des deux intégrales de

Fresnel est \/-îr'

142. Cas oùîes deux limites sont infinies. — Si on a une intégrale de la forme

pour voir si elle a un sens, on la partage en deux

Si chacune de ces intégrales a scparcmcnl un seus, la propo-

sée en a un.