Tangente. — So'a

l'équation d'une courbe plane en coordonnées cartésiennes. L'équation de la tangente au point M(,c,!/) est

X, Y désignant les coordonnées courantes et t/'^ b» dérivée de // par rapport à .r. Avec la notaLion dillerentielle, cette équation

144. Cas où l'équation n'est pas résolue . ~ Soit F{,,-.y;=0,

l'équation d'une courbe non résolue par rapport à y. En égalant à zéro la dérivée par rapport i» s de la fonction F[x, y) où y est regardé comme fonction de x, on a

io COi'llS B'A.YAiySE

l'où

lit/ 17

l-'équiitlon de la tangente au point {.e, y) devient alors, si en y empliioe -=^ par coUc viilcur,

Points singuliers. — Il peut nrriver, exceptioniiclleineiit, qn'eji un point [x, y) les dériviscs partielles — — et -- — ■ soient luiUcii

L'équufion précédente de la tangente devient une ichulilè; on dit que ces pointa particuliers sont des points singuliers.

Ce sont ordinairement des points où plusieurs branches de courbe se croisent et où, par suite, il existe plusieurs tangentes.

Exemple. — Prenons l'équation d'une courbe algébrique dans laquelle les termes de moindre degré sont du deuxième degré

Ax^ + 2Ha'^ + C7/^ + ?,{.r,//j+ + Y„'r,7/) = 0

oùA,B,C désignent des constantes, ?3(.'C,ï/) l'ensemble des termes homogènes du troisième degré en x et y, a„{,r, î/) l'ensemble des termes homogènes de degré n en x et y. L'origine ^ =; 0, y^O est un point de la courbe, mais les s dérivées partielles du premier membre de l'équation s'annulant pour x = 0, y = 0, l'origine est unpoint singulier. Pour trouver les tangentes en ce point, nous procéderons comme il suit. Coupons la courbe par une sécante [fig. 69),

TA.yGEJVTE, NORMALE, SOVS-TANGENTE , ETC. a5i

passant par 0. L'éqnation aux x des points de rencontre s'obtient en remplaçant y par ?nx dans l'équation de la conrbe. On a ainsi une équation qui, quel que soit m, admet la racine double ,'r^O. Les autres points d'intersection ont pour abscisses les racines de l'équation

(1) A + 2BHi-t-C/;;' + xa,(l,/»)-H -^x"-^ ■s^[i,m) = 'd.

Ainsi, toute sécante passant par 0 coupe la courbe en deux points confondus avec 0 : on dit que ce point est an point double de !a courbe. Pour que la sécante 0 M devienne tangente enO, il faut déterminer le coefficient angulaire m de façon qu'un nouveau point M d'intersection vienne se confondre avec 0, c'est-àdire que l'équation (1) ait «ne nouvelle racine jiulle. Pour cela, il faut et il suffit que m soit mie racine de l'équation : A+2B/« + C»i- = 0.

On peut donc mener au point 0 il ki courbe deux tangentes qui sont réelles et distinctes, ou confondues, ou imaginaires, suivant que l'équation en m a ses racines réelles et distinctes, ou égales, ou imaginaires. En y remplaçant m par ~ et chassant le dénominateur, on obtient une équation homogène du deuxième degré représentant l'ensemble de ces deux tangentes

A^'^ -f- 2 Bx7j + Cif = 0.

Cette équation s'obtient en égalant termes de moindre degré dans l'équation de la courbe.

Quand les tangentes en O sont iniagi-