TANGENTE, NORMALE. SOUS-TANGENTE, ETC

corde MM,

- tend vers 1, et que l'angle (MM,, O.r) tend vers a, nous aurons

dx dy __ .

Ce sont les formules à démontrer.

On peut facilement les retenir en remarquant qu'elles expriment que les projections d'un élément d'arc ds sur les deux axes sont dx et dy.

147- Position de la courbe pur rapport à la tangente. — Prenons, sur la courbe, un point M, voisin du point de contact M de la tangente M/ : soient x -{- h l'abscisse et

l'ordonnée de ce point. Soit, d'autre part {fi^'. 71), M^ le point de la tangente ayant même abscisse x -{- h que M, el y^ l'ordonnée de ce point M^^. Cette ordonnée est fournie par l'équation de la tangente, où on fait X^^ + /t

Si on développe l'ordonnée j/, de la courbe par la formule de Taylor, on [i

,'7, =/'M+ Y^'^w +-^rw +

On remarquera que l'ordonnée t/^ de la tang'ente s'obtient en limitant le développement de l'ordonnée ;/^ de la courbe k ses deux premiers termes.

Pour avoir la position de la courbe par rapport ii la tangente, formons la différence î/, — y^ :

;/,-;/.=-^[rM + 4/'"'W+ ]■

Supposons d'abord, ce qui est le cas général, (]uef"la:/ n'est

piis uni LiLi point M. Alors, h étant pris pour infiniment petit principal, la différence i/, — y^ est infiniment petite du deuxième ordre. Quant au signe de j, — ?/,, il est, pour h infiniment petit, le même que celui de f"{x), car la parenthèse a évidemment le signe de /""(x) quand h tend vers zéro.

Si donc /'"{xj est positif, y, — y^ est positif, quel que soit le signe de /( ; aux environs du point M, la courbe est au-dessus de la tangente ; elle tourne, en M, sa concavité vers les y positifs.

Si f"{x) est négatif, y^- — y^ est négatif, quel que soit le signe de h ; aux environs du point M, la courbe est au-dessous de la tangente; elle tourne, en M, sa concavité vers les y négatifs.

Pour obtenir les points d'intersection de la tangente avec la courbe, il faut chercher les valeurs de k pour lesquelles la différence y, — i/j est nulle. On a ainsi l'équation

■rH+-^r;-;

qui adincL la racine double A = 0. C'est ce qu'on exprime ( disant que la tangente coupe îa courbe en doux points confondi avec le point de contact.

Points d'inflexion. . — Supposons maintenant qu'au jioint M c

f" (.t) étant dificrent de zéro. On a, dans ce cas,

La diffé]

— î/5 est alors infiniment petite du troisième ordre, quand h est pris pour infiniment petit principal. Le signe de la parenthèse étant celui de f"'{-'t:) pour h suffisamment petit, on voit que y^ — y^, contenant k^ en facteur, change de signe avec /;. La courbe est donc, à gauche de M, d'un côté de la tangente; ii droite de M, de l'autre côté. La tangente Mi traverse la courbe {fg. 72); le point M est appelé point d'inflexion. La tangente en ce point a trois points communs con-

TANGENTE, NORMALE, S OVS-TÀNCENTE , ETC. ï5S

fondus avec l:i courbe, car l'équation donnaut les valeurs de h qui coM'esp onde lit aux points de rencouLrc de la tangente avec lii courbe

contient, iictuellement, /(■* en Gicteur et admet la racine U'iple h = 0.

Si f"'{:e) était nul en même temps que /'"(x), f'^Çi') étant différent de zéro, la courbe serait, aux environs de M, d'un même côté de la tangente, mais cette tangente aurait, avec la courbe, quatre points communs confondus en M.

148- Propriété caractéristique de la tangente. — De toutes les droites passant par un point H d'une courbe, la tangente est celle qui se rapproche le plus de la courbe. Soit

l'équation d'une droite passant par le poiuL J[{.i, ;/) de la courbe. Si on prend, comme plus haut, le point M, de la courbe d'abscisse .X -|- h et d'ordonnée

le poiiU M, de la droite ayant môme al>scisse X=^,r+/i a pour ordonnée

7/,= rj-i~m/>=f[.r)^mk.

La différence y, — y^ des ordonnées correspondantes de îa courbe et de la droite est donc, en développant f{œ-\-h) par la formule de Taylor,

'j.=''[/'';.'-)-'«]+xT /■"(■'■)-

Tant que m est différent de f'{.e) cette différence est infiniment petite du premier ordre par rapport à h. Pour qu'elle devienne infiniment petite d'un ordre supérieur, il faut et il suffit que m = f'{.r), c'est-à-dire que la droite devienne tangente à la courbe. ...

149- Autre manière d'obtenir l'équation de la tangente. — Soit une oouibe définie par les équations.

Pour que l^i droite