PM'=2R — PM
La relation élémentaire
C)P^= PM.PM' s'écrit alors
C)F'= PM(2R— PM), d'où
PM ÔP^
iPM
Quand le point M tend vers 'O, PM tend vers zéro, le rap-
OP port —rrr^ tend vers Ry et Ton a
ce qui démontre le théorème.
COURBURE d'une COURBE PLANE. . 275
161. Le cercle de courbure, en un point O d'une courbe, est la limite d'un cercle passant par O et par deux points de la courbe infiniment voisins de O. — Soient M et Mj deux points de la courbe voisins de O. Les trois points OMM, déterminent un cercle. Ce cercle tend vers le cercle de courbure en O, de quelque manière que Von fasse tendre les points M et M, vers O le long de la courbe {fig. 86, I).
Fiff. 86.
Pour simplifier, nous nous bornerons au cas où Ton fait tendre les deux points M et M, successivement vers O. Si Ton fait d'abord tendre Mt vers O en laissant M fixe, le cercle 0M4M devient un cercle tangent en O à la courbe et passant par M. Si, ensuite, on fait tendre M vers O, ce cercle devient le cercle de courbure en O, d'après le théorème précédent.
D'après cela, le contact du cercle osculateur et de la courbe est en général d'ordre 2. Il peut exceptionnellement être d'un ordre plus élevé : c'est ce qui a lieu, pour les sommets d'une ellipse, où le contact est d'ordre 3.
162. Le cercle de courbure, en un point d'une courbe, traverse en général la courbe. — En effet, considérons d'abord un cercle passant par le point O et par deux points M et M, pris sur la courbe dans le voisinage de O {fig- 86, I). Si un mobile suit la courbe en marchant de la gauche vers la droite, il est d'abord hors du cercle jusqu'au point M< ; sur l'arc M, O, il est dans le cercle; sur l'arc OM, en dehors, et, sur l'arc qui suit le point M, il est dans le cercle. Nous avons, sur la figure 86, pointillé les arcs iuL(''ji(Mirs au cercle et tracé en traits pleins les arcs extérieurs. Si, maintenant, les points M et M< tendent vers O, les arcs M<0 et OM disparaissent, le cercle devient osculateur en (3 et il ne reste que les deux arcs Bi O et OB qui sont : l'un extérieur, l'autre intérieur au cercle osculateur {Jig. 86, II). Cette propriété tient à
•À-;6 . cnAPiTUK \.
( e que le contact est en général d'ordre 2 (ordre pair) {i\'' I L^iV S'il est d'ordre 3 (sommets d'une ellipse) le cercle osculaleur et la courbe ne se traversent pas.
VI. - EXPRESSION DU RAYON DE COURBURE D'UNE COURBE PLANE EN COORDONNÉES POLAIRES.
163. Angle de la tangente avec le rayon vecteur. - Soi cul /• *et 9 les coordonnées polaires d'un point M {Ji^- ^~ ^'
l'équation de la courbe. Appelons V l'angle de la tangculc en M avec le ]>rolongenient MR du ravou vecleur. Soil M un poiul inliniuu^nl voisin de M, ayant pour coordonnées polaires r-\-tfr el9-|-(/8; décrivons, de O comnu^ centre, avec OM = /• comme ravon, un arc de cercle MP. Quand M' tend vers ]\1, l'angle PM'M tend vers \". Le triangle infinitésimal MPM csl rectangle en P. On a
MP == /• ^0, PM' = dr, PM'M = V.
Donc, d'après les formules élémentaires sur les triangles l'cc-
tangles,
m . ^' 1, ^. rdù r
r ad = artans Y, « ou tanijN = —7— = — >
dr r
