dr

en désignant par /• la ciiTivcc -7- •

Rayon de courbure, — Soit t l'angle de la tangente M / avec O.r : on a, d'après le triangle Ox\M {fis;'. 87),

ou. d'après la formule

taniïV — —,y r

(i) a = arc tang— -^ 0,

D'autre part, la différentielle de l'arc est (n** 69) , -2 I • ds = i/dr^-i-r^diiK

COURBURE D UNE COURBE PLANE. 277

l*OLir avoir le rayon de courbure, il suffit d'appliquer la loiiiiule

ÏÏ ~~^' telle qu'elle résulte de la définition même (n** lo5).

Fi g 87.

Nous ferons le calcul, en prenant 9 comme variable indépendante et désignant par /•' la dérivée seconde de r par rapport à H. ISous écrirons

Or, d'après (i),

F r'- — rr r- -f- y r"^ — rr"

et, d'après (2),

Donc

li = /r'2-i- r'^ = f r'2-+- r'^y^.

r2-i- 2/-' 2 — rr"

où le sii;ne doit être clioi-i (!(■ fficou que -r; soit positif.

Pour la retenir plus facilement, il est commod*^- de mettre cette formule sous la forme suivante :

OÙ ( - \ désigne la dérivée seconde de -, par rapport à h.

Points d'inflexion. — Ce sont les points où R = oc, - = o ; ih sont donc donnés par l'équation

ir "■ — r/' =0

164. Exemple. — Cardioîde (n'' 70). — L'équation de la cardioïde est

r = a{\ H- cosO).

On a donc

/•' = — asin6, r" = — acosO.

Après des réductions évidentes, on a

/•2-I- 2r'2— rr" ■= 3«2(i h- cosO) = 3ar, r2 + r'2= 2a2(i -f- cosÔ) = '?.ar

Donc

T 3ar

/lar.

Le rayon de courbure varie proportionnellement à la racine carrée du rayon vecteur r. Il est nul., au point de rebroussement.

Le rajon'de courbure étant toujours fini, il n^j a pas de points d'inflexion..

I60. Spirale logarithmique» — Cette courbe a pour équation

où a est une longueur donnée et m un nombre constant, que nous supposons positif. Elle a la forme indiquée dans la figure 88; elle est asymptote au pôle.

Dans cette courbe,

,. r I tane; V = — = — ;

l'angle V est donc constant. Comme

COURBURE D UNE COUHBK PLANE. ^79

on a

d^ ~ ds

dO ^ ds'

■2-hr2.

ma e'

'«0 :z^ mr

Mais

donc

Le rayon de courbure est proportionnel au rayon vecteur. C'est ce qu'on peut voir géométriquement. Le centre de courbure, en M, est la limite du point de rencontre G de la normale en M et de la normale au point infiniment voisin M'. Les angles CMC et OM'G

Fiff. 88.

{fig. 88) sont égaux, car l'angle V de la tangente avec le rayon vecteur est constant. Alors

OMG=: OM'G-= - — V.

Le quadrilatère rectiligne OMM'G est inscriptible, et l'angle

COM est le supplément de CM'M. Mais, quand M' tend vers M,

la corde M' M tend vers la tangente, l'angle CM'M devient droit

puisque M'C est une normale ; donc COM devient droit.

Pour avoir le centre de courbure en M, il suffît donc de prendre l'intersection de la normale en M avec la perpendiculaire OC àOM. Le rayon R. = MC est alors, dans le triangle COM,

R = -r— rr = /Vt -1- '^^

sinV car

tang V = — •

Cette courbe n'a pas de points d'inflexion.

'JtSo CHAPITRE X.