VII. - EXERCICES SUR LES RAYONS DE COURBURE DES COURBES PLANES
166. Courbe dans laquelle R = co(a-). — Supposons qu'on veuille trouver une courbe, dans laquelle le rayon de courbure R est une fonction donnée de l'angle c, que fait la tangente avec une direction fixe Ox.
ds
j la relatio
R = cp(a) devient
ds = ?(<^') d'y.
ds Comme R = -j^, la relation donnée di
D'autre part, on a, en appelant x et y les coordonnées d'un point de la courbe (n" 143),
dcc = ds cosT, dy = ds sin 7.
Remplaçant ds par sa valeur, on aura
dx = o{!7) cosa d-, dy = ç{<j) sinty d<7;
d'où l'on tire :r'et y en intégrant
x — cco= I o((j) costj d(j.
y — yQ= / cp(a) sina^^cr,
Xo et î'o désignant des constantes d'intégration.
On a ainsi les coordonnées d\in point de la courbe cherchée en fonction d'un paramètre a-.
Quand on fait varier Xq ety,>, la courbe ne change pas de forme, elle ne fait que se transporter parallèlement à elle-même. En effet, en portant l'origine au point x^ el yo, on réduit les équatians à la même forme que si Xq et y© étaient nulles.
/exemples. — 1° Soit à trouver une courbe dont le rayon de
courbure est constant et égal à cr.
ds «a
COURBURE d'une CQURlîE PLANE. 201
On a alors
dx = a coso- â(a, dy = a sina c?a.
En intégrant,
x — XQ=asïn(j, y — ^o = — «cosa.
Eliminant a-, on a l'équation de la courbe
(^ — ^o)--+-(y — ro)'= «-;
c'est un cercle de rayon a.
2" Soit à trouver une courbe telle que
Vy -~ \a sina,
a désignant une constante. On a alors
ds = 4« sina d-;, <i.r = 4<^ cosa sin or «ia, 6/r — 4« sin^a t/cr,
ou encore
dx = 'la sin 2a di, dy ■= 'laii — cos 2 a) di.
Intégrant, on peut écrire
X — X()=^ a{i — cos 2a), ' ■ y — yQ^^aiii — sin 2a).
En portant l'origine au point x^^ y^ et remplaçant 2(7 par u^ on retrouve les équations d'une cjcloïde (n'* 12), sauf le changement de ic enjK et de^ en ^.
La courbe est donc une cjcloïde dont la base est parallèle à Oy.
167. Trouver une courbe dans laquelle le rayon de courbure est une fonction donnée de l'arc s. — Si Ton donne
ds on en déduit, en remplaçant R ])ar sa valeur -r- : ^ ' ' c/a
ds . ^ , ds
— =-^5), d^= -—- ' dn T V /7 '\'{s)
et, en intégrant,
ds
282 CHAPITRE X. — COURBURE DUNE COURBE PLANE
Celte équation donne s en fonction de t; on a, par suite, R en fonction de a-, et Ton est ramené au problème précédent.
La quadrature (i) donne o- à une constante arbitraire près; la valeur de cette constante change non la forme, mais seulement la position de la courbe. En effet, en faisant tourner les axes de coordonnées, on ne change pas s^ mais on change a- en a- -j- const., puisque a- est l'angle de la tangente avec O^.
