TANGENTE
168. Équations définissant la courbe. — Pour définir une courbe gauche par rapport à trois axes rectangulaires O^, Oy, Oc, on peut donner les expressions des coordonnées d'un point M de la courbe en fonction d'un paramètre u :
/', C3, '\i étant des fonctions continues.
169. Tangente. — Soient M un point de la courbe dont les coordonnées :r, r, z correspondent à la valeur u du paramètre; Ml un point voisin, dont les coordonnées :r,, yi, z^ correspondent à la valeur a -h Ji du paramètre :
Les équations de la sécante MM, sont, en désignant par X, Y, Z les coordonnées courantes,
(MMi) — -^ —
.ri — a? yi—y zi—z
On peut écrire ces équations, en divisant tous les dénominateurs par raccroissement h de u :
(MMO X-x Y-y
.ri — y
Quand h tend vers zéro, le point M, se rapproche indéliniment
de M, la sécante MM, devient la tangente M^ en M. Le rapport
— ; — OU '—^ 7- tend vers la dérivée -r- ou / (m), de
Ji II du '' ^ '^
même' , et "' , tendent vers -f- et -7^ ou C2'(w) et ^'(w); les h h du du * ^ / T \ .
équations de la tangente sont donc
dx du
dy du
dz du
ou
X — x dx
dy
ou encore
170. Cosinus directeurs de la tangente. — Prenons {fig- 89) sur la courbe une origine des arcs O' et un sens positif des arcs. Appelons s l'arc O'M regardé comme positif ou comme négatif, suivant que O'M est dirigé dans le sens positif ou en sens contraire.
Menons une demi-droite M^ tangente à la courbe dans le sens dans lequel se déplace le point M quand s augmente. Nous allons calculer les cosinus directeurs de cette demi-droite M^ Soit M, un point de la courbe correspondant à l'arc O'M, = 5 -}- Aa", l'accroissement A5 étant positif. Le segment MM, compté positivement dans le sens MM, a pour projections sur les trois axes :
^1 — ^, yi — y^ -1 — ^,
en employant les mêmes notations que dans le numéro précédent. On a donc, en désignant par a, J^, y les cosinus des angles que fait
le segment MM( avec les trois axes,
On en tire, pour a, [3, y, des expressions qu'on peut écrire
Xi — X ùkS „ jKi — y ^s -Si — 5 As'
A5 MMi ^ as M Ml ' A6- M Ml
Quand \s tend vers zéro, M, tend vers M, la direction du seg-
As ment MM, tend vers la demi-droite M t, le rapport -T^^r^ d'un arc
^ '- IVl Ml
à sa corde tend vers i, et les rapports
A* As As
tendent vers les dérivées
dx dy dz
Les cosinus directeurs a, j3, y de la tangente M^ sont donc donnés par les équations
dx o dy dz
Ces équations sont aisées à r-etenir : elles expriment qu'un élément infînim'ent petit d'arc ds^ dirigé suivant la tangente M^, a pour projections, sur les axes, dx^ dy^ dz.
171 . Tangente à une courbe gauche définie par deux équations non résolues. — Soient
les équations d'une courbe gauche. Chacune de ces équations, envisagée isolément, définit une surface, et la courbe est l'intersection de ces surfaces. On peut toujours imaginer que l'on ait exprimé les coordonnées d'un point de la courbe en fonction d'un paramètre u :
1286 CHAPfTRE XI.
Si l'on substituait ces expressions dans les fonctions F et G, le résultat serait identiquement nul, quel que soit «, car les coordonnées d'un point quelconque de la courbe vérifient, par bypothèse, les deux équations (i). On a donc, en difîérentiant ces deux relations par rapport à «,
( F'^ dx -h F; dy -+- Fi c?5 = o, ^^- I G'^dx-^G'ydy-^0'.dz = o.
Ces deux équations déterminent les rapports de deux des quantités dx^ dy, dz à la troisième :
dx dy dz
f;. Gi - Fi g;. ~ ¥L(y^- f;, gi f;, g;. - f;. g;.
Les équations de la tangente sont alors
dx dy dz
où il reste à remplacer dx, dy^ dz par les valeurs proportionnelles que nous venons de trouver.
Points singuliers. — La tangente est ainsi déterminée en chaque point de la courbe définie par les équations (i).
Il y aurait exception, si les coordonnées du point de contact
vérifiaient les relations
F\ F;. ^ Fi
car, dans ce cas, les équations (2) se réduiraient à une seule et les dénominateurs des relations (3) seraient tous nuls. Les deux surfaces (i ) qui, par leur intersection, donnent la courbe seraient alors tangentes au point considéré.
Un point de ce genre s'appelle un point singulier de la courbe gauche. C'est, en général, un point où se croisent plusieurs branches de la courbe.
Nous reviendrons sur cette question dans la théorie de l'indicatrice.
172. Différentielle de la longueur d'un segment de droite. — Soit un seument de droite xVB dont les extrémités A et B ont res-
peclivement pour coordonnées r, j", z et :î7,, j',, Zi. Supposons que ces coordonnées soient fonctions d'un paramètre m, de telle façon que les extrémités A et B décrivent chacune une courbe,
quand u varie. Lorsqu'on fait varier infiniment peu u. les points A et B subissent des déplacements infiniment petits AA' et BB' ayant pour projections dx, dy^ dz et dx^ , dy\ , <i^, . La longueur l du segment
a pour différentielle
„ (a? — Xx) {dx — dx\^ H- {y — y{) {dy — dy^) H- (^ — ^i) {dz — dzx)
- Nous écrirons cette expression
„ (.-Ti — x) dx -^ (y^ — y)dy -^ {zi — z) dz
{x — x^ ) dxi -r- (y — jKi ) dyi -+- (z — ^i ) dzi
Le segment AA', de projections dx^ dy^ dz^ fait avec les axes
j 1 . • dx dy dz , , ,.
des angles ayant pour cosinus -^, —•, —, c est-a-dire
ChS G/S Cl S
dx dy dz
XÂ7' JX' AÂ^*
Le segment AB, pris dans le sens AB, fait avec les axes des angles ayant pour cosinus
a^\— X 7i~r zi—z ___, ___, .___.
On a donc, en prenant le cosinus de l'angle de ces deux directions,
<^r^ (^1 — x) dx -{- (yi— y) dy ^(zi — z ) dz
cos A AB = ^-^ -^ ' ■^ — '- .
288 CIIAPITHE XI.
On trouve, de même,
Xi) dxx-\- (y.
HH'.l
La formule donnant cil peut alors s'écrire *
dl = — A A' . cos A' AH — BIV .cos B' BA.
Applications de cette formule. — i*^ Supposons, par exemple, que la droite AB se déplace de telle' façon qu'elle reste constamment normale aux courbes décrites par les points A et B. On a,
alors, cosA'AB = o, cosB'BA = o,
dl = o, / = const.
La droite a donc une longueur constante.
2° Réciproquement, imaginons un segment AB de longueur constante / qui se déplace en restant iiormal à la courbe, lieu du point A. Le point B décrit alors une courbe à laquelle la droite AB est aussi normale.
En effet, dans la formule générale on a, actuellement, dl=zOy
cos
A' AB z=z o. Elle donne donc
cos B' BA
ce qui démontre que AB est normale au lieu du point B.
