II. — PLAN OSCULATEUR

173. Plan osculateur. — On démontre, pour les courbes gauches, comme pour les courbes planes, que, de toutes les droites passant par un point M de la courbe, la tangente est celle qui se rapproche le plus de la courbe dans le voisinage du point M. On est naturellement conduit à chercher, de même, quel est, parmi tous les plans passant par un point M d'une courbe gauche, celui qui se rapproche le plus de la courbe dans le voisinage du point M. On est ainsi amené à la notion chi ])lan osculateur que nous définirons comme il suit :

Définition. — Soient M un point de la courbe, M, un point voisin, M^ et M) ^< les tangentes en ces deux points. Le plan oscillateur en M est la limite vers laquelle tend un plan passant par Mt et parallèle à M.^ t^ quand M, tend vers M.

Fiiï. qi.

Si par M on mène une parallèle Mi' à M, t^ , on peut dire que le plan osculateur est la limite du plan iM/^

On peut voir géométriquement que le plan ainsi défini existe. En effet, par un point fixe G, menons des parallèles OA aux différentes tangentes Mi de la courbe : ces parallèles forment un cône qu'on appelle le cône directeur des tangentes. Soit OA, la génératrice de ce cône parallèle à M,/,, le plan t^it' mené par Mi parallèlement à M, i, est parallèle au plan AOx\., et, c{uand M, tend vers M, OA, tend vers OA et le plan AOA, tend vers le plan tangent au cône directeur des tangentes le long de OA. Le plan iMi' tend donc vers une position limite parallèle au plan tangent au cône directeur des tangentes le long de la génératrice OA parallèle à Mi; cette position limite est le plan osculateur en M.

Equation du plan osculateur. — Formons d'abord l'équation du plan iMi'. Soient

les coordonnées du point M ;

a;i=f{u-+-h), j'i = o(m -t- A), Zi= ^(u-h- h)

celles du point M,. Les cosinus directeurs de la tangente en M sont proportionnels à

ceux de la tangente en M, sont proportionnels à \

f'{ii-\-h)^ cp'(a-hA), ^'{u-{-h).

APi'ELL. — Êlcincnts d'Analyse. — st. 19

2yO CHAPITRE XI.

Le plan ^M^', passant par M, a une équation de la forme

Ce plan devant contenir M^ et la parallèle M^' à M(^,, on a. pour déterminer A, B, C, les deux conditions

Si Ton développe /'(a 4- A), z^'{u-{-h), ^'(u-\-h) par la formule de Tajlor, la deuxième relation s'écrit

(2) A/'(w) + B9'(iO + G<]>'(w)-}-/i[A/"(a) + Bcp"(?i) + G6"(w)]

D'après la première des conditions (i), le premier terme de cette relation (2) est nul, et l'on peut l'écrire, en divisant par A,

Af"(u)-+-Bf(u}-+-CY{u)-i--[Xf"{ii)-^...] = 0. .

Si, maintenant, on fait tendre h vers zéro, le plan ^M^' tend .vers le plan osculateur et les deux relations déterminant A, B, C

deviennent

Af'(u)-{-Bo'(u) -4-Gf (?f)=o,

Af"(u)-hBo"{u)-+-CY(t^) = o.

On en tire

o'Y — ^' o" ^'f — /' ^' /' 0" — cp'/" L'équation du plan osculateur en M est donc

(cp''y-^'cp")(x.-.r)-i-(4>X'-/-y)(Y-r)

Gomme on a, u étant la variable indépendante,

dx=^f'{u)du, dy =. o {u) du , dz = '^'{u)du,

d'^'X = f"du-, d-y=o"da^, d-z=^"du-^

on peut aussi écrire cette équation

{df é/2 ;; dz d'-y) {X — x) -^ {dz d'-x — dx d'^z) ( Y —y)

-\-{dx d'-y — dy d^'x){Z — z)=z'o.

174. Théorème I. — Le plan osculateur en un point M est la limite vers laquelle tend un plan passant par la tangente Wt en ce point et par un point M, infiniment voisin de M. — En effet, un plan quelconque passant par le point M a pour équation

Ce plan contenant la tangente M?, on a

(3) kf'{u) + B^'{u)-\-C^'{u) = o.

Exprimons que ce plan contient le point M, de coordonnées ^i, y,, ;3, ; il vient

A(a7i — ;r) + B(jKi— j)-f-G(2i — ^) = o,

ou encore, comme x^=^f{u)^ Xi=f{u-\-h)^ ...,

A[f(ii-\-h)-f{ii)]-^B[o{ii-^h)-^{u)]

Développons f(u + A), cp(M + A), 'l(u-+~ h) par la formule de Tajlor, nous pourrons écrire la dernière condition

h[Af(ii)-\-Bo'(u)-i-C^'{u)]-\~ — [A/"(?0 Bcp"(w)H-G4;"(w)]

Le premier terme de cette relation est nul en vertu de (3); supprimant alors le facteur — , on peut écrire

Quand h tend vers zéro, cette relation donne l'équation

(4) A/"(w)-+-Bcp"(^) + Gf'(^0 = o

qui, jointe à (3), détermine des quantités proportionnelles à A, B, C.

On retrouve ainsi les conditions qui définissent le plan osculateur, et le théorème est démontré.

17o. Théorème II. — Le plan osculateur en un pointMd' une courbe est la limite cV un plan passant parM. et par deux points

292 CHAPITHE XI.

infiniment voisins M, et Mo. — Soient

les coordonnées du point M< ;

celles du point M^. L'équation d'un plan passant par le point M de coordonnées x^y^ c,

^=fiu), Y = 0(11), z = ^(ll),

est

A(X — ar) + B(Y— jk)-+- C{Z — z) = o.

En exprimant que ce plan passe par les deux points M, et Mo, on a, pour déterminer A, B, C, deux conditions qu'on peut écrire

■ A[/(^^ + A■)-/(a)] + B[cp(^^ + /0-9(w)]

-H €[<]>(« + /:) — -K^Ol = o-

En développant par la formule de Taylor suivant les puissances de h et A", on peut diviser la première condition par A, la deuxième par A, et Ton a

(5) A/'(w) + Bcp'(ïO + G^'(i*)-+- -[A/"(w)-f-Bo"(w)-+-GJ;"(w)]

Xf{u)^]i^'(u)-^C^'{u)-{--[kf"(u)-hBo''{ii)-}-Cyiu)]

En retranchant ces deux développements membre à membre, on obtient une équation de condition dont tous les termes sont divisibles par h — k et qui s'écrit

(6) A/"(iO + B'/(w)-+-C4^"(«)-f- ^-±i'[A/"(w)-H...]-f-...= o,

les termes non écrits contenant tous h ou k en facteur. Si, maintenant, on fait tendre h et k vers zéro, les relations (5) et (6)

deviennent

A^' (u) -h Bo' (u) -i- C'Y (u) = 0,

A/"(M)H-Bcp"(w)+ G'y(M) = 0.

Ce sont les relations qui déterminent les coefficients A, B, G de l'équation du plan osculateur. Le théorème est donc démontré.

Ordre de contact du plan osculateur avec la courbe. — On peut dire, d'après le théorème précédent, que le plan osculateur en M coupe la courbe en trois points confondus en M. En appliquant la même locution que pour le contact de deux courbes planes (n" 145), on peut dire que le plan osculateur a, avec la courbe, en M, un contact du deuxième ordre.

176. Le plan osculateur en un point d'une courbe gauche traverse, en général, la courbe. — En effet, considérons d'abord le plan P déterminé par un point M d'une courbe gauche et deux points voisins M, et M2. Voyons quelle est la disposition de la courbe par rapport au plan P. Nous figurerons en pointillé les arcs de courbe situés au-dessous du plan P et en traits pleins les arcs situés au-dessus. Supposons qu'un mobile parcourant la courbe rencontre les points M, , M, JNL dans l'of^dre M, MMo. Alors, avant d'arriver au point M,, il décrit d'abord un arc 1 situé audessous du plan {fig. 92, I) ; il traverse le plan en M, et parcourt

iMg. 92.

un arc 2, de M, en M, situé au-dessus; puis un arc 3, de M en Mo, situé au-dessous; enfin il décrit un arc 4 partant de Mo et situé au-dessus du plan. Si, maintenant, les deux points M, et Mo tendent vers M, en suivant la courbe, le plan P tend vers le plan osculateur en M, les arcs 2 et 3 deviennent nuls, et la courbe a, par rapport au plan osculateur en M, la disposition de la figure (92, II). L'arc 1 est au-dessous. du plan, l'arc 4 au-dessus; le plan osculateur traverse donc la courbe au point M.

Cas d^ exception. — Il pcul se faire exceptionnellement que It^ plan osculateiir en un point M coupe la courjje en quatre points confondus; on dit alors qu'il est stationnaire. Dans ce cas, il ne traverse pas la courbe.

177. Perspective d'une courbe gaucbe. — Soient O un point fixc^ R un plan fixe appelé plan du tableau : la perspective d'une courbe gauche C se définit comme il suit {^fig. ()3).

On joint le point O à un point M de la courbe gauche et l'on prend la trace m de OM sur le plan R. Le lieu des points m esl une courbe plane c appelée perspectwe ou projection centrale de G.

Quand le point O s'éloigne indéfiniment dans une direction déterminée, la perspective devient la projection de G sur le plan R faite parallèlement à cette direction.

On démontre facilement que la tangente à la courbe perspective c au point m est la perspective de la tangente en M à la courbe G.

Nous allons démontrer que si, sur la courbe G, il existe un point ï tel que le plan osculateur P, en ce point, passe par le point de vue O, la perspective i de I est un point d'inflexion de la courbe perspective c.

En effet, soient ah la trace du plan osculateur P en I sur le plan de projection R; 01/ la projetante thi point I qui est tout entière dans le plan P; le point i est sur ah. Soit AB la tangente en 1 à la courbe gauche; cette droite étant située dans le plan osculateur P en I a pour perspective ah {fig- 94)-

Donc la courbe perspective c est tangente en i iicih. Nous allons voir que, au point /, la tangente ah ti-averse la courbe c. Va\ effet,

PLAN OSCULATEUR.

dans l'espace, la courbe G traverse le plan oscillateur P; l'arc Ml tracé en trait plein est en avant de P et l'arc IM' tracé en pointillé est en arrière du plan P. Donc, sur la perspective, l'arc mi est en

avant de ab et im en arrière de ab. La tangente ab traversant la courJje plane c en i, le point i est un point iVinflexion (n^ 144).

Cas d^ exception. — i" NouS avons supposé que la tangente AB en I ne va pas passer par le point de vue O. Si cette circonstance se présentait {fig. l)^), la perspective de A.B serait un point/* et la courbe c présenterait, en /, un rebroussement.

Fig. 95.

2'' 11 peut encore arriver que la tangente AB en 1 ne passe pas par O, mais que le plan osculateur P en 1 soit stationnaire, c'està-dire coupe la courbe en quatre points communs confondus. Alors il ne traverse pas la courbe et, en perspective, la tangente ab ne traverse pas la projection c.

178. Normales à une courbe gauche. Plan normal. — Une droite MN est normale à une courbe gauche, en un point M, quand elle est perpendiculaire à la tangente M^ en ce point. On peut donc en un point M mener uiui infinité de normales à une courbe :

toutes ces normales sont situées dans un plan passant par M et perpendiculaire à la tangente; ce plan est le plan normal à la courbe {fi g- 96).