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Normale principale. Binormale. — Parmi les normales à une courbe gauche en un point JM, on en distingue deux qui sont particulièrement importantes.
On appelle normale principale la normale MN' à la courbe située dans le plan osculateur; la normale principale est donc rintersection du plan osculateur et du plan normal.
On appelle binormale la normale MN" perpendiculaire au plan osculateur.
En un point M d'une courbe, la tangente M^, la normale principale MN' et la binormale MN " forment un trièdre trirectangle.
Quand la courbe est plane., le plan osculateur se confond avec le plan de la courbe ; la normale principale est la normale située dans le plan de la courbe, et la binormale est perpendiculaire au plan de la courbe. Dans une courbe plane, la binormale a donc une direction constante.
m. - EXEMPLES.
179. Hélice circulaire. — Soit une hélice tracée sur un cylindre de révolution de rayon a. Prenons comme axe des z l'axe du cylindre, comme axe des x la perpendiculaire AO abaissée d'un point A de l'hélice sur l'axe du cylindre, comme axe des r une perpendiculaire au plan ^O^. Soient M un point de l'hélice, P sa ])rojection sur le plan des'^ry. Gomme le point P se trouve évidemment sur le cercle de base du cylindre dans le plan xOy^ on a OP = a.
Appelons u l'angle AOP; on a
arc AP = au.
D'après la définition de l'hélice, Fordonnée z = MP du point est proportionnelle à l'arc AP, c'est-à-dire à u. On a donc, pour les coordonnées du point M,
(i) x = acosu, y=asinii, z = ka.
y = a smii,
k désignant une constante,
Pas de l'hélice. — Le pas d'une hélice est la longueur de la génératrice du cylindre comprise entre deux spires consécutives.
On peut dire aussi que c'est la longueur dont croît z quand le point P fait un tour sur le cercle de base, c'est-à-dire quand u croît de it.. Si l'on désigne le pas par A, on a donc, d'après l'expression (i) de s,
Sens cV enroulement d^ une hélice. — Imaginons un observateur placé dans l'intérieur du cylindre suivant l'axe du cylindre,
Fig. 98.
ayant, par exemple, les pieds en O et la tète en z. Supposons qu'un mobile parcoure l'hélice dans un sens tel que l'observateur voie ce mobile aller de ses pieds vers sa tète; alors, pour l'hélice représentée dans la figure 97, l'observateur voit ce mobile tourner autour de lui de sa gauche vers sa droite. Ce fait est indépendant du sens dans lequel l'observateur se place le long de l'axe. Car si l'on imagine un deuxième observateur ayant les pieds en O, mais la tète en z' ', si un mobile suit l'hélice dans un sens tel que cet observateur le voie aller de ses pieds vers sa tête, il le voit
encore tourner de sa gauche vers sa droite. Cela tient d'ailleurs à ce que la partie de l'hélice située au-dessous du plan xy et la partie située au-dessus sont égales comme symétriques Tune de l'autre par rapport à l'axe Ox. D'après cette propriété, on dit que l'hélice de la figure 97 est enroulée de gauche à droite (dextrorsum).
Au contraire, l'hélice de la figure 98 est enroulée de droite à gauche (sinistrorsum). C'est là le sens ordinaire des vis. Elle est représentée par les mêmes équations (i) à condition qu'on prenne comme sens positif de Or la perpendiculaire dirigée en arrière du plan ^O:;.
Ainsi pour passer d'une hélice à Faiitre, il suffit de changer le sens de Oy en conservant les mêmes formules.
180. Cosinus directeurs de la tangente. Longueur de l'arc d'hélice. — Prenons comme origine des arcs s le point correspondant à a =^ o et, comme sens positif des arcs, le sens dans lequel se déplace le point M quand u croît. On a
ds = \/dx^~ -H dy^ -h dz'^ = y/a2 -f- 7,-2 du :
nous choisissons le signe + devant la racine carrée, puisque s croît avec u.
On a immédiatement,, en intégrant,
s = y/a- -+- k- II,
sans ajouter de constante, car s s'annule avec u. Cette formule est évidente géométriquement; en efiet, si l'on développe le cylindre, le triangle curviligne AMP devient un triangle rectangle ayant pour hypoténuse l'arc AM = 5 et pour côtés de l'angle droit l'arc AP = au et l'ordonnée PM = Au. Donc
Menons la tangente M^ dans le sens des arcs positifs, c'estdire de axes sont
à-dire de u croissant; les cosinus a, [i, y des angles deM^avecles
dx o __ dy dz
OU, d'aprùs les \alearb ci-dessus de dx, dy^ dz^ ds^
a s'xnu r, ^ cos u k
v/rt^H-/--- sja'-^k- v/a--i-A- '
Le cosinus appelé y étant constant, la tangente à l'hélice fait un angle constant avec les génératrices, propriété rendue évidente par le développement du cylindre.
181. Plan osculateur. — Différentiant deux fois les équations de l'hélice (i), où u est variable indépendante, on a
dx = — a sin u du, dy — a cos u du, dz = k du,
d'X = — acosudu^, d'^y =z — as'vnudu^, d'-z = o,
car u étant variable indépendante, d'-u est nul. L'équation du plan osculateur à l'hélice au point x^ y^ z étant mise sous la
forme
les coeflicients A, B, C ont pour expressions
A = dy d' z — dz d-y = ak sin u du^, B z= dz d'^x — dx d'Z = — ak cosu du^, C — dx d-y — dy d-x — a^ du^.
L'équation du plan osculateur est donc, en supprimant le facteur du^^
(X — x)ak sin u — (Y — y)cif^ cos ït H- (Z — z)a-=^ o.
On peut, dans cette équation, remplacer a cosu et asinii par les coordonnées x cl y du point de contact. Elle devient alors
(X - x)ky - (Y -y)kx -+■ (Z - z)a^- = o ou, en développant,
(2) k(yX — xY)^a^Z — z) = o.
Telle est l'équation du plan osculateur à l'hélice au point (^, j, :;). Celte équation montre que : Le j dan osculateur à r hélice en un point M contient la normale MN' au cylindre. En effet, la normale MN' au cylindre se projette horizontalement sui-
OOO CHAPITRE XI.
vant le rajon OP ; elle a donc pour équations y\ — ;rY = o, Z — ^ = o.
Le plan osculateur (2) contient évidemment cette droite. D'après cela, la normale principale à l'hélice en M est la normale MN' au cylindre.
PiioiJLîïME. — Détermine?^ les jtoinLs de contact des plans oscillateurs menés à Vliélice ])ar un point donné O' de coordonnées x\ y' ^ z .
Soient M un des points de contact d'un des plans osculateurs cherchés; x^ y\ z les coordonnées de ce point. 11 faut écrire que le plan osculateur (2) au point M passe par O', ce qui donne la condition
(Q) k(ya:'-cry)-+-a^z'-z) = o.
11 faudra prendre, sur l'hélice, tous les points {x, y, z) vérifiant cette condition. Si l'on regarde x^ y, z comme des coordonnées courantes, cette équation représente un plan Q passant par le point O' donné. Les points de contact cherchés étant à linlersection de ce plan et de Fhélice, on voit que \es ])oin'ts de contact des plans osculateurs à r hélice, issus d^ un point donné 0\ sojit sur un plan passant par ce point.
Si donc on fait la projection conique ou perspective d'une hélice sur un plan donné, le point de vue étant un point quelconque O', les points d'inflexion de la courbe perspective sont en ligne droite. En effet, les points d'inflexion de la courbe perspective s'obtiennent en prenant les projections des points de contact !<. I27 • • -, 1« des plans osculateurs à l'hélice issus du point de vue O'. Ces points de contact I,, L, . . ., 1,/ étant sur un plan Q passant par O', les projetantes 01,, 0'l2, ..., OI^ sont dans le plan Q et leurs traces sur leur plan de projection sont en ligne droite.
Cette propriété subsiste quand le point O' s'éloigne indéfiniment dans une direction donnée, c'est-à-dire quand on projette la courbe sur un plan parallèlement à une direction donnée. Par exemple, la projection orthogonale de l'iiélice sur le plan j^O^ est
COURBES GAUCHES. — TANGENTE. — PLAN OSCULATEUR. 3oi
la sinusoïde définie par
d'où
^=asin--
Cette courbe a une iniinité de points d'inflexion tous situés sur O^.
182. Autre exemple. — Cherchons le plan osculateur à la courbe définie par les équations
où \ est un paramètre variable.
. Actuellement,
dx — \d\, dy = — <^X, dz = d\^
Les coefficients de l'équation du plan osculateur sont donc
\=dy d'-z — dz d-'-y = — X ^X», B = dz d'-x — dx d^z = d\^.
Ç: = dxd^y — dyd^x=—dl-i, et l'équation du plan osculateur au point (^, y^ z) est
— X(X — a7)^- Y— jH (Z — ^) = 0;
ou, en remplaçant x, j, z par leurs valeurs et changeant les signes,
