IV. — ENVELOPPE D'UNE FAMILLE DE COURBES DANS L'ESPACE

183. Conditions pour qu'il existe une enveloppe. Équations de l'enveloppe. — Soit, dans l'espace; une courbe C définie par deux

équations simultanées

<G) /(a7, jK, ^, À) = 0," o(x,y,z,l) = o

dépendant d un paramètre À. Quand on fait varier \ d'une manière (X)ntinue, la courbe C se déplace d'une manière continue : on peut alors se demander si les 'diverses positions de la courbe C ont une enveloppe, c'est-à-dire s'il existe une courbe E à laquelle les courbes G soient toutes tangentes. Nous allons voir que cette enveloppe n'existe pas, en général; pour qu'elle existe, il faut qu'une certaine condition soit remplie.

Supposons que l'enveloppe E existe. Soit M (iP, y, z) un point de contact d'une courbe G avec l'enveloppe. Les coordonnées d'un point quelconque de G sont des fonctions d'un paramètre u vérifiant identiquement les deux équations (G) où A a une valeur constante donnée. Quand a varie, les fonctions f{oc^ y, ^, 1) et C2(.r, y, G, X) restent nulles, leurs différentielles sont donc nulles, et l'on a

[ C5^ dx -h o'y dy -1- o~ dz ^= o

Ges équations délinissent les projections dx^ dy^ dz d'un élément d'arc infiniment petit MW de la courbe G {fig- 78) ; elles donnent

pour les rapports -7-. -^ un système de valeurs bien déterminées,

tant que l'on n'a pas

Si ces dernières conditions étaient remplies, les équations (i) se réduiraient à une seule, le point correspondant x^ y, z serait ce que l'on appelle un point singulier de la courbe G. Nous supposerons que le point M n'est j)as un point singulier; les rapports

-^ €t -T^ sont alors déterminés et les équations de la tangente

en M à la courbe G sont

dx dy dz

Gherchons maintenant les projections d^x^ ^h)'-. <Ik^ d'un élément d'arc infiniment petit MMj de l'enveloppe E. Le long de

COURBES GAUCHES. — TAINGENTE. — PLAN OSCULATEUR. 3o3

l'enveloppe, les coordonnées r, y, z d'un point de E sont fonctions de )., car, pour chaque valeur de A, il existe, sur l'enveloppe, un point de contact avec l'enveloppée G correspondante; soient

Ces fonctions de A vérifient identiquement les deux équations

fi^^y> -^ >^) = o,

Les premiers membres de ces équations restant nuls quand \ varie, leurs différentielles sont nulles. On a donc, en désignant, comme au n*^ 149, par d^ x^ d^y^ <a?i ;j, les différentielles de ^, y, :; regardées comme fonction de A,

\fx d,x-\-f'y chy -\-f. d,z-^ /) d\ =^ o, ( <p^ (f 1 37 -h -o'y di y -i- o'-diz -^ oi dX — O.

Les projections de Félément d'arc infiniment petit MM, vérifient ces deux relations. La tangente en M à l'enveloppe E a pour équations

X — ce Y — y Z — z

di X dyy di z

Pour que cette tangente soit la même que la tangente à la courbe G, il faut et il suffît que l'on ait

,„ d]X d\y dxz

dx dy dz

en appelant k la valeur commune des rapports. De ces équations (3) on tire d^x^ d^y^ d^z et, en portant dans (2), on a

Kf'x dx H-/; dy^f. dz) -hf{ dX = o,

A- ( çp^ dx -+- (^'y dy -h f'z dz ) | çp^ <iÀ = o.

Mais, d'après les relations (i), ces équations se réduisent à

/)' = o, cp^; = o.

Donc, si les courbes G ont une enveloppe, les coordonnées ^, y, z d'un point de cette enveloppe regardées comme fonctions

3o4 CHAPITRE XI.

de )., doivent vérifier les quatre équations simultanées

Il faut, par suite, que les valeurs de x, j', ::, en fonction de )v, tirées de trois de ces équations, vérifient identiquement la quatrième, quel que soit X.

Si celte condition n'est pas remplie, l'enveloppe n'existe pas.

Si elle est remplie, soient

les valeurs de x^ y^ z, en fonction de X, tirées de ces équations (4) et supposées réelles. La courbe définie par les relations (5) est, ou bien l'enveloppe des courbes C, ou le lieu des points singuliers de ces courbes. En effet, appelons <i, ^, diy, d^z les différentielles des fonctions x^ y, z de \ définies par les relations (5); ces fonctions rendent identiquement nulles les expressions /(x",j^, ^, \) et o{x, y, ^, a); elles rendent donc nulles leurs différentielles et l'on a les deux équations

fx d\ X -^f'y d^y -T-/i r/i z +/{ d\ = o, o'-çdyx -^ o'y diy -h o'z d^z -\- cp) d\ = o.

Mais, comme les valeurs (5) de x, y^ z annulent, par hypothèse, /) et cp) , on a

/l di X + /;. û?i jK -f- /; c?i ^ = o ,

( o^ «1 a? 4- cpy d^y -h cp^ d^z — o.

Ces relations déterminent les rapports -^y -^ si les dérivées

^ ^ dix «1 X

partielles /^.,/j^.,/'!. ne sont pas proportionnelles à o^, cp^., ^^, c'està-dire si le point x^ y, z considéré n'est pas un point singulier de la courbe C. Gomme ces relations (6) sont identiques aux relations (i) qui définissent les rapports -^> — pour la courbe C, on voit que la courbe (5) est tangente à la courbe G, à condition que le point .r, y, z défini par les relations (5) ne soit pas un point singulier de G.

Cas particulier. — Un cas simple où les équations (4) se

COURBES GAUCHES. — TANGENTE. — PLAN OSCl'LATHUR. 3o>

réduisent à trois ('s[ le suivant. Supposons cju'une des équations des courbes mobiles ne contienne pas X, par exemple la première. Ces deux équations sont alors

les courbes mobiles s'obtiennent en coupant une surface fixe f{x^j\ z) =i o, par une surface mobile o{x^ y\ z, A) = o, dépendant d'un paramètre. Comme actuellement yj ^^t identiquement nul, les équations [ \) se réduisent à trois :

JXx, y, z) = o, o{x, y, z, l) = o, '^'^ = o.

On pourra, en général, tirer, de ces équations, .r, j', :; en fonction de À,

la courbe ainsi définie, si elle est réelle, sera ou bien l'enveloppe des courbes considérées ou le lieu de leurs points singuliers.

i8i. Application à une droite mobile dépendant d'un paramètre» Surfaces gauches. Surfaces développables. Arête de rebroussement* — Soit une (b-oite mobile ayant pour équations

(D) X = az -+- h, y = bz^k,

où a, 6, h et k sont des fonctions d'un paramètre A. Quand le paramètre varie, la droite se déplace et engendre une surface réglée.

Deux cas sont à distinguer suivant que cette droite a ou non une envelo{>pe.

Condition pour que Ici droite ail une enveloppe. Sui faces développables. - Clierchonsla condition pour que les droites (D) aient une enveloppe. D'après la règle générale, nous devons associer aux équations (D) les équations obtenues en les dérivant par rapport à A, c'est-à-dire les équations

da dh db dk

Appkll. — rlcnic/its d'Analyse. — st. 20

3o6 CIIAPITRK XI.

Les qiialrc ('(jualious ainsi obtenues doiNCJil èlrc eonipalibles en O', j', z. Les deux dernièri^s donnenl. pour 3. (\r\\\ xalcurs

si ces valeurs ne sont pas identiques entre elles, les droites n'ont pas d'enveloppe.

Pour qu'il v ail une enveloppe, il laul cl iJ Milill (jue les deux valeurs de z soient identiques, e'esl-à-dire que l'on ait

da dk — db dh — o ;

on dit alors que les droites forment une surface dêveloppable. Dans ee cas, les coordonnées d'un point de l'enveloppe sont délinies par

dli dk , j ,

Cette enveloppe s'appelle V arête de rebvoussement de la surface développable. •

On déduit de là une classification des surfaces réglées.

Quand les droites mobiles (D) n^ont pas d^enveloppe, elles engendrent une suif ace gauche.

Quand elles ont une enveloppe, elles engendrent une surf ace dèveloppable. L^ enveloppe est V arête de rebroussenient de la surface.

Nous verrons (n" 186) que le plan tangent à une surface dèveloppable est le même tout le long d'une génératrice, comme dans un cône et dans un cylindre, et que ce plan tangent est le plan osculateur à l'arête de rebroussenient, au poinl où la génératrice touche cette arête.

Exemple. — Les droites avant pour équations

engendrent une surface développante. En effet, en dérivant ces deux équations par rap|)ort à X, on oblient deux équations qui donnent j^our z la ménic xab'ur

COURBES (;AUCHES. — TANGENTE. — PLAN OSGLLATEUR. 3o7

Portant cette valeur de z dans les deux équations de la droite, on a, poui- les coordonnées d'un point de l'enveloppe, c'est-à-dire de \ arête de rebroussement.

Cette courbe est une courbe «gauche du troisième ordre ou cubique gauche,

185. Cônes et cylindres. -— Les exemples les plus simples de surfaces développables sont les cônes et les cylindres. Il est aisé de vérifier que, pour ces surfaces, la condition générale dadk — db dh = o est remplie. Prenons d'abord un cône et supposons qu'on ait choisi pour origine le sommet du cône. Les génératrices du cône ont alors pour équations

X = az, y z= bz^

a ci b étant fonctions de )>. Gomme h et k sont identiquement nuls, la condition est satisfaite. Les coordonnées d'un point de l'arête de rebroussement sont données par

Cette courbe se réduit à un point, le sommet du cône.

Prenons maintenant un cylindre et choisissons l'axe O^ parallèle aux génératrices. Les droites auront pour équations

h et k étant fonctions d'un paramètre A. La condition est encore remplie, car a et b sont identiquement nuls. En considérant le cylindre comme limite d'un cône dont, le sommet s'est éloigné indéfiniment sur O^, on peut dire que l'arête de rebroussement est un point à l'infini sur Oz.

186. Le plan tangent à une surface développable coïncide avec le plan oscillateur à l'arête de rebroussement. — Soit M un point de l'arête de rebroussement.

(9) x=/(u), y = '^(u). z = 'l(ii)

étant les expressions des coordonnées du point M en fonction d'un paramètre u.

Quand le point M décrit rareté de rebroussement, la tani;ente M^ engendre la surface développable : nous allons montrer que le plan tangent à la surface développable. en un point quelconque Mj de la génératrice M^, est le même, quelle que soit la position du point M,, et coïncide avec le plan osculateur en M à Farête de rebroussement. Pour déterminer le plan tangent en un point d'une surface, il suffit de connaître les tangentes à deux courbes passant par ce point sur la surface. Par le point M, de la surface développable, passe d'abord la génératrice M,M {fig. 99),

le plan tangent en M/ contient donc cette génératrice. Soit ensuite C, une deuxième courbe passant par M, sur la surface : quand le point M, décrit cette courbe, la longueur MMj de la tangente à l'arête de rebroussement varie en fonction du paramétre u qui fixe la position du point M. Les équations de la tangente MM, sont

(îi)

f\u) cp'(w) ^'{u)

Le point M, (^4, j',, z^) étant sur cette droite, on a

ri-.r -1 — ^ „

en appelant p la valeur commune de ces rapports.

Gomme ^ ==/( w ), y = cp (;<), ^ = •J>(//). on a donc, pour les coordonnées du point M, :

Î^i=/(w)-fp/'(w)»

J^,=:Cp(w)+pCû'(w), ^1 = ^^(ll)^ o'^'(u).

COURBES GAUCHES. — COURBURE ET TORSION. Sog

Dans ces expressions, p doit être regardé comme une fonction de w, de telle façon que. quand a varie, le point M, décrive la courbe Cj. Cela posé, le plan tangent à la surface développable en M, contient la génératrice MM^. Il passe donc par le point M et son équation est de la forme

en écrivant qu'il contient la droite MM,, tangente à l'arête de rebroussement, on a

(i3). A/'(w)+ Bcp'(?0 + Gd;'(î^) = o.

11 faut écrire qu'il contient aussi la tangente M, ^, à la courbe C,. Or, d'après les expressions des coordonnées du point M,, les cosinus directeurs de cette tangente M, ^, sont proportionnels aux différentielles dx^^ ^J^ ? dz^ '•

dxx = f'(ii) (du -{- dp ) -+- pf" ( u ) dii^

dfx = o'(u)(da-h dp) -h p o" ( u ) du, dzi ~ 'l''{u) (du ~'r- dp)-\- pY(ii) du.

On doit avoir

A dxi -+- B dyi -h C dzi — o.

Remplaçant dxi, dyt^ dz-t par leurs valeurs, et tenant compte de la condition (i3), on voit que le coefficient de {du-\-dp) disparaît et il reste la condition

(i4) Af"(u)-i-B(D"(u)-{-CY(if') = o.

Les conditions (i3) et (i4) déterminent les coefiicients A, B, C du plan tangent (12). Mais ce sont précisément les équations déterminant le plan osculateur, en M, à Farête de rebroussement. Le théorème est donc démontré.