V. - COURBURE ET TORSION DES COURBES GAUCHES
187. Courbure, — Nous avons vu comment, dans une courbe plane, Tidée de la courbure se trouve liée à la variation de la direction de la tangente. On étend cette idée aux courbes gauches. Si la tangente à une ligne dans l'espace conservait une direction
fixe, cette ligne serait une droite. La ligne est donc courbe, parce que la tangente change de direction, et il est naturel de mesurer la courbure par la variation de la direction de la tang^ehte. On définit la courbure d'une courbe gauche de la façon suivante.
Soit une courbe gauche, sur laquelle on a choisi un sens positif pour les arcs 5 {fig- 100), et soit M^ la tangente, menée dans c«
sens. En Géométrie plane, on peut évaluer la variation continue d'une direction, en menant par le centre d'un cercle de rayon i une parallèle à cette direction et évaluant la variation de la longueur de l'arc découpé par cette parallèle sur la circonférence. Dans l'espace, pour évaluer la variation continué de la direction de la tangente M^, on considère une sphère de rayon i et de centre O; on mène, par le centre, un rayon OA parallèle à M7. Quand le point M décrit la courbe gauche dans le sens des arcs positifs, à partir d'un point M, la droite OA décrit un cône appelle cô¥ié directeur dés tangentes (n^* 173), et l'exfrémité A du rayon OA décrit, sur la sphère, une courbe A„A, dont nous désignerons l'arc par <5-, en prenant conYme sens positif dé o- le sens AqA. On peut dire que cet arc a- mesure la variation continue de la direction de la tangente depuis la position M,, ^0 jusqu'à M ^.
Coiii'bure moyenne dun arc MM,. — Sur la courbe gauche,
faisons croître s de A5; le point M se déplace et vient en M, de
telle façon que
S.S = arc M Ml ;
COURBES GAUCHES. — COURBURE ET TORSION. 3ll
la tangente passe de la position M^ à M, ^, et, sur la sphère, le
point A se déplace jusqu'en A,, l'arc o- de la courbe sphérique
augmente de
àa — arc AAi.
On appelle, par analogie avec ce qu'on a vu pour les courbes planes, courbure moyenne de l'arc MM,, le rapport
Aa A* quantité positive
Courbure en un point. — La courbure au point M est la limite vers laquelle tend la courbure moyenne de l'arc MM,, quand cet arc tend vers zéro. On a donc
courbure en M = Jim -- = —-.
S.S as
Le rayon de courbure R, en M, est l'inverse de la courbure;
A5 ds .
R = lim -— = -7-- Aa aa
Cette quantité R est positive.
Remarque. — En désignant par £ l'angle des deux tangentes M^ et M, ^,, angle qu'on appelle angle de contingence., on peut dire aussi cjue la courbure, en M, est la limite du rapport
e -ïs'
{|uand M, tend vers M. En effet, l'angle z des deux tangentes M^ et M, ^, est égal à celui de leurs parallèles OA et OA, : il est donc mesuré par l'ar<; de grand cercle joignant les extrémités A et A, de l'arc de la courbe sphérique A a-. On eu conclut que le rapport
— - tend vers i, quand M, tend vers M et, par suite. A, vers A. En
efÇet, on peut écrire
At Aa corde AAi
£ corde AAi s
Comme le rapport de l'arc Ao* à sa corde tend vers i, et que.
d'autre part, le rapport de l'arc de grand cercle AA,, ou s, à sa corde, tend vers i , on a bien
Les deux rapports
lim — = I.
Aa e A^ A$
ont donc même limite, et l'on a
courbure en M = lim — as
188. Torsion. — Dans une courbe plane, le plan oscLdateur €st fixe tout le long de la courbe, puisqu'il se confond avec le plan de la courbe. On peut dire également que, dans une courbe plane, la direction de la binormale, perpendiculaire au plan osculateur, est la même tout le long de la courbe; réciproquement, on démontre (n° 200) que toute courbe, dans laquelle la binormale a une direction fixe est plane. On peut dire qu'une courbe est gauche, parce que la binormale change de direction, et il est naturel d'introduire, pour les courbes gauches, un deuxième élément caractérisé par la variation de direction de la binormale, comme la courbure est caractérisée par la variation de direction
de la tangente.
Ce nouvel élément est la torsion.
Soit MN " la binormale, en M, à la courbe gauche. Nous choisirons plus loin un sens positif sur cette binormale : mais, pour le moment, MN" est simplement une perpendiculaire indéfinie au plan osculateur. Pour évaluer la variation continue de la direction MN" quand le point M parcourt la courbe, de M^, en M, nous mènerons, comme tout à l'heure, par le centre O de la sphère de rayon i, une parallèle à MN' : soit B'OB le diamètre parallèle à la ■droite indéfinie MN" {fig. loo). L'extrémité B de ce diamètre, suivie par continuité, part d'une position B^ quand M part de My, et décrit une courbe sphérique BoB, dont nous a[)pellerons l'arc t, ^n convenant de compter cet arc positi\ement (Lins le sens BqB. En même temps, le point B' décrit un arc Bj, IV égal à t, dans le sens contraire.
Torsion moyenne d'an arc MM,. — Sur la courbe gaucive, faisons croître s de A.ç; le point M vient en M,, de telle façon que
A5 = arc M Ml ;
la binorinale passe de la position MN" à la position M,.N,, et. sur la sphère, le point B se déplace jusqu'en B,, Tare t de la courbe sphérique augmente de
AT = nrcBBi.
On appelle alors loi'sion moyenne de Tare MM,, le rapport
AT
quantité positive.
Torsion en un point. — La torsion, au point M, est la limite
vers laquelle tend la torsion moyenne de Tare MM,, quand cet
arc tend vers zéro. On a donc
,, ,. ù^-z di torsion en M = lim — = -p • As as
Le rayon de torsion T. en M, est.^ par déHnition.^ V inverse
de la torsion; donc
A.Ç ds
T = li
Cette quantité T est positive.
Remarque. — En désignant par t] l'angle des deux binormales MN" et M,]N'j, on peut dire aussi que la torsion, en M, est la
limite du rapport — -, quand M, tend vers M. En eflet, l'angle tj
des deux binormales est mesuré par l'arc de grand cercle de la sphère joignant les extrémités, B etB,, de l'arc de courbe sphérique A T. On en conclut que le rapport
corde BB,
corde tîB,
tend vers i quand M, tend vers M, et, par suile, que les deux rapports
As A.s
ont même limite.
3l4 CHAPITRE XI.
189. Propriétés géométriques des courbes t et t. — Pour arriver^ d'une façon simple, aux formules donnant la courbure et la torsion, nous ferons d'abord quelques remarques géométriques sur les courbes a- et-; ces remarques nous permettront de définir le sens positif de la binormale et de la normale principale.
Soit AF la tangente à la courbe sphérique a-, dans le sens des apositifs. Cette droite AF est parallèle à la normale principale MIN' {^fig. loi). En effet, le cône, engendré parles droites OA, est le
cône directeur des tangentes à la courbe : le plan tangent OAF à ce cône est parallèle au plan osculaleur en M à la courbe (n*^ 173). La droite AF étant dans un plan parallèle au plan osculateur et étant perpendiculaire à la droite OA parallèle à M^, est parallèle à la normale principale MN . Nous choisirons, comme sens positif sur la normale principale, le sens de AF : nous verrons, plus tard, que la partie positive MN' de la normale principale, ainsi définie, est la partie qui se trouve dirigée vers la concavité de la courbe en M.
Passons maintenant au cône engendré par les parallèles B'OB aux binormales et aux courbes sphériques, lieux des points B et B' : nous mènerons à ces courbes les tangentes BH et B'H', dans le sens dans lequel chacune d'elles est décrite. Gomme le plan langent OAF au cône t est parallèle au plan osculateur en M, la droite B'OB, parallèle à la binormale, est perpendiculaire au plan OAF. Ainsi on obtient le cône décrit .par les droites B'OB, en prenant les perpendiculaires élevées par O aux plans tangents OAF du cône 1. I^e cône ainsi obtenu, ou cône t, est dit supplémentaire du
COURBES GAUCHES. — COURBURE ET TORSION. 3l5
cône a-. 11 est aisé de voir que, réciproquement, le cône t est supplépientaire du cône t, c'est-à-dire que la génératrice OA est perpendiculaire au plan tangent OBH du cône t. En effet, soient OAF et OA, F, deux plans tangents voisins du cône a- : ces deux plans étant perpendiculaires aux génératrices OB et OB, du cônCT, leur intersection 01 est perpendiculaire au plan BOB, . Quand OA, tend vers OA, l'intersection 01 des deux plans tangents tend aussi vers OA, le plan BOB, tend vers le plan tangent OBH au cône T. Comme le plan BOB, est perpendiculaire à 01, le plan tangent OBH est perpendiculaire à la limite de 01, c'est-à-dire à OA.
D'après cela, les tangentes AF et BH aux courbes sphériques «x et T sont parallèles : en effet, AF est perpendiculaire au rayon OA de la sphère et à la droite OB perpendiculaire au plan OAF; d-oïic AF est perpendiculaire au plan AOB. On voit de même que BH est perpendicukire au plan AOB. Ces deux droites sont donc parallèles. On peut toujours supposer que ces deux tangentes AF et BH sont parallèles et de mérrve sens. En effet, nous avons mené les deux tangentes BH et IVH' aux deux courbes sphériques, lieu des paints B et B', dans le sens où chacune d'elles est décrite. Les deux points B et B' étant symétriques par rapport à O, ces deux tangentes BH et B'H' sont parallèles et de sens contraires. Gomme elles sont parallèles à AF, l'une d'elles est de même sens que AF, l'autre de sens contraire. Nous supposerons qu'on ait appelé B celui des deux points B ou B' qui décrit la courbe t dont la tangente est de même sens que AF.
Cette convention détermine le sens de la demi-droite OB ; c'est ce sens que nous choisirons pour sens positif de la binormale MN".
Les deux tangentes AF et BH sont alors parallèles, de même sens, et parallèles à la normale principale MN'.
