I. (MN') . a', p', y
3lG CHAPITRE XI.
les cosinus direcleiirs de la normale principale MN'. et par
cenx de la binormale.
Les cosinus directeurs de la tangente sont donnés par les formules (n« 170)
dx
dz ds
Si Ton prend le centre O de la sphère comme origine, le point A, décrivant la courbe a-, a pour coordonnées
car le rajon OA, parallèle à la tangente, a pour longueur i et pour cosinus directeurs a, [3, y. La tangente AF à la courbe, lieu du point A. étant parallèle à la normale principale, a pour cosinus directeurs a', p', ^'' . En applicpu\nt les formules générales (i), donnant les cosinus directeurs de la tangente d'une courbe, à la courbe a-, ou a donc
car les coordonnées d'un point de celte courbe sont a, (3, v. et son arc est a-. Nous écrirons la première de ces formules
doL = a' d7^
dy. , d<7 ds ds
Mais, d'après la définition de la courbure, on a, R désignant le
rayon de courbure,
di 1
^ "" R' donc
dy. a.'
"^ "" ÏÏ '
On transforme, de même, les deux autres formules et Ton
t louve
d^ y-' d'^ '^y dy Y
ds ~ ¥y' ■ Tfs ~ W ^ ~ ÏÏ *
Elevant ces relations au carré et ajoutant, on a, en vertu de la
COURBES GAUCHES. — COURBURE ET TORSION. Si;
relation a'- + p'- H- y'^ — I ,
,..x " (d'^y- (d'^Y (d^iV
Passons à la conrbe t, lieu du point B. La droite OB étant parallèle à la binormale MN", les coordonnées du point B sont
La tangente BH à la courbe t étant parallèle à la normale principale MjN', ses cosinus directeurs sont yJ . p', y'; donc, en appliquant à la courbe x les formules générales (i ) donnant les cosinus directeurs de la tansente à une courbe, on a
oc =
ch." , d^" , df
Nous écrirons la première de ces formules
, ,, , , dy.' . d-z
dy. = a dz, —— =z % -— .
ds ds
Mais, d'après la définition de la torsion et en désignant par T le rayon de torsion, on a
d'où
On transforme de même les deux autres formules et Ton a
ds
dy."
di' V'
ds
ds
ds T
Elevant ces relations au carré et ajoutant, on a
T^ ~\ ds J^K ds J^y ds
Nous avons ainsi les dérivées de a, p, y. a", p". ^'" par rapport à l'arc s. Pour compléter le Tableau des formules, il reste à calculer les dérivées de a. [3', y' ])ar rapport à s. Or, entre a, a', a", a lieu
la relation
3l8 CHAPITRE M.
car a, a', a" sont les cosinus des angles que fait la direction Ox avec les arêtes du trièdre trirectangie M^, MN', MN". DifFérentiant cette relation par rapport à 5, on a
di , do.' „ û^a"
ds ds ds ' '
r> 1 dy. dx" -, 1 .1 , ,
Remplaçons -r- et —r- par Jeurs valeurs précédemment trou- ^ ' ds ds ^ ^
vees |3 et 77. , puis divisons par a', nous aurons
On trouve de même deux autres formules en remplaçant a par P et y; ce qui donne le nouveavi groupe
Élevant ces formules au carré et ajoutant, en tenant compte de; relations
aa"4- j3[S"-i- yy" =r o, on a .
II /do^'\- /d^'V /d':'Y
Tel est Tensemble des formules relatives à la courbure et à la torsion des courbes aauches.
191. Usage de ces formules pour le calcul de R et T. Si l'on donne une courbe gauche définie par les équations
on a
dx = f'(u) du, dy — ^'{u)da, z = 'l'iu) du,
da' ds
OL a!' ~" R ~ T'
d^' ds
di
ds
Le signe du radical dépendra du sens choisi pour les arcs positifs. Par exemple, si l'on convient de compter les arcs s dans le
COURBES GAUCHES. — COURBURE ET TORSION. 3l9
sens dans lequel se déplace le point .x. y, i, quand u croît, ds et du sont de même signe, le radical est pris positivement.
Les cosinus directeurs de la tangente a, p, y sont alors donnés par les formules
dx- f o dy ,, ^^-
ds ^y'2| çp'2^ j;'2 ds as
■ce sont donc des fonctions connues de u. Les formules
ds
rf.' doL ^ i / ( ^^'
R ~ ■^' •••' R~\/ [ds,
)Hty-m
donnent ^, ^, ^ et ^ en fonction de a.
Formant ensuite -
on a, par les formules
K T ~ ds'
W-^T^-i-dl) '^[ih) '^[dlj '
— , ^, ^ et 7p en fonction de u. On en déduit les cosinus directeurs a', p". v' de la binormale en fonction de u.
On a ainsi tous les éléments de la courbe au point M exprimés en fonction de u.
Dans certains cas, si Ton connaît le plan osculateur, on connaît directement a", j^' , v" en fonction de u et l'on peut calculer a', [3', v', T par les formules
dy." ol'
192. Remarque sur le cas particulier où s est pris comme variable indépendante. — Si l'arc s est pris comme variable indépendante, d'-s = o; on a alors
dx ds
dy. d^cp x' ITs ^ "^ ""a'
ds-^ l^K ds^ / '^['d^
Mais cette formule simple ne s'applique que si s est la variable
ndépendante. cas qui se présente rarement. Dans le cas i>énéral. >ù ]a variable indé[)endante serait quelconque, on aurait
dx ' , ds d'-x — dx d- s
ds ds^
y.' dy. ds d- x — dx d- s
K ds ds^
Les quantités ^r , y- seraient alors données par des expressions analogues et, en faisant la somme des carrés de ces expressions, on aurait une formule générale donnant j— , formule qu'il est inutile d'écrire ici.
193. Normale principale. Centre de courbure. Centre osculateur. — Avant de faire des applications, il nous reste à vérifier que la direction de la normale principale MN', définie par les cosinus directeurs a', p', v', est située du côté de la concavité de la courbe.
Pour cela, nous allons montrer que, si M, est un point de la courbe infiniment voisin de M, la projection du segment MM, sur la direction MN' est positive, c'est-à-dire que le point M, se projette sur la partie positive MIN' {fi g. 102).
En eflet, x. y. z étant les coordonnées du point M, et x^^ y celles de Mi, le segment MM, a pour projections, sur les axes
et^ sur la direction MÎN', la c|uantité
Il faut \éritier que P est positif. Soient
COUHBES GAUCHES. — COURBURIi: ET TORSION. '•)>. I
les coordonnées de M en fonction de l'arc s : celles de M, s'obliennent en faisant croître s d'une quantité infiniment petite /i. On a donc;
Xi=f(s-{- h), jKi = ^(s-4- ^), Zi= 'l{s-i- h);
développons par la formule de Tajlor :
f(s - h) =/(s) + ^/'(5) + -^y'(,) + . . .. Nous avons
Donc de même
>. R Portant dans la \aleur de P et tenant compte des relations
aa'4- (j^'-i- yy' = O, • a'2+ ^T^^. y'' = ' . P
on trouve
quantité positive pour /i infiniment petit, positif ou négatif.
Centre de courbure. — Le centre de courbure C s'obtient en portant sur la normale principale MN', dans la concavité de la courbe, une longueur MG égale au rayon de courbure R. Les coordonnées du point G sont égales à celles de M, augmentées des projections de MG sur les trois axes; elles ont donc pour expressions
(G) ^+Ra', 7-i-RP', ^-+-Ry'.
Cercle osculateur. — - Le cercle osculateur est le cercle situé dans le plan osculateur, décrit du centre de courbure comme centre, avec le rayon de courbure comme rayon.
Appeli.. — Elcinciits d'Analyse. — st. 21
