VI. — APPLICATION AUX HELICES
195. Hélice circulaire. — J^es coordonnées d'un point de cette courbe sont données par les formules suivantes (n" 179) :
x=:.acosii^ j^ = asinM, z=^ku^
le pas étant ét>al à 27:/ . On a
dx = — a sin u du, dy = a cos u du^ dz = / du^
ds = \l a^ -i- A 2 du.
Les cosinus directeurs de la tangente sonl alors
dx a sin u
^j dy « cos a
''~ ds ~ sja' + k'-
^ dz k
^ " ds '" ^a2+/f2
On déduit de ces formules <ia, (i,3, <iy, et l'on a
OL
dT.
~ ds
a cosu
ds
a sin u
Fig. io3.
Élevant ces équations au carré et ajoutant, on a
Puis, eil remplaçant R par cette valeur,
y.' = — cosw, P' = — sinw, y'=o.
Les cosinus directeurs de la normale principale MjN' sont donc égaux et de signes contraires à ceux du rayon OP; cette noi> maie MjN' est parallèle à PO; elle est normale au cylindre, comme nous l'avons déjà vu (n*^ 181).
INous pouvons maintenant calculer c/a', <ij3', dy', et, en divisant par ds^ nous avons
a a" d(x.' sin M
^ 8" d'^' cosM
R T ~ ds ~ ./«2 ^ /^i *
R T ds
Faisant la somme de ces carrés, on a
Ri + T^
d'où, d'après la valeur de R,
T2 (rt2^/.2)i
Connaissant a, [i, v, R et T, les dernières formides donnent a",
Nous ne ferons pas ce dernier calcul, qui serait une simple
vérification, car les valeurs de a', p', v" résultent imnK'diatement
de l'équation du plan osculateur (n" 181), la binormale étant
perpendiculaire à ce plan. Nous nous bornerons à remarquei- que
la formule
ds R r
donne, actuellement, puisque v' est nul,
ou, d'après les valeurs de T, R, y
Cette valeur étant négative, la binormale MN" fait avec O:; un angle obtus. Elle est donc dirigée comme le montre la figure io3.
Remarque I. — En partant des valeurs de a", p", y", telles qu'elles résultent de l'équation du plan osculateur, on pourrait calculer directement T à l'aide des formules
doi'
T' di T ds
Remarque II . — On voit que, dans une hélice circulaire, les rayons de courbure et de torsion sont constants. Nous verrons plus loin que, réciproquement, toute courbe, pour laquelle R elT sont constants, est une hélice circulaire.
196. Hélice quelconque. — Considérons un cylindre quelconque dont les génératrices sont parallèles à O;, et, sur ce cylindre, une hélice obtenue en enroulant sur lui un plan dans lequel on a tracé une ligne droite. Prenons pour axe 0:r la per-* pendictdaire abaissée d'un point A de l'hélice sur Oz {fig- io4).
Fig. io4.
Soient M un point de l'hélice, P sa projection sur le plan des xy. Le lieu de P est la section droite du cylindre, dont nous désignerons l'arc par t :
arcAP = t.
Nous appellerons s Varc de ^ hélice :
arcAM = 5.
Si l'on exprime les coordonnées du point P en fonction de ^,
(P) oc = fit), y = ^{t), z = o. I
L'arc AP étant égal à i, on a
donc
Appeh)ns p le rayon de courbure de la section droite AP en P : comme t est l'arc AP, on a'(n*' 192)
p2 V dL^ I \ dl"" )
- ^f'Hn + 'j'^t).
Ceci posé, passons à Fliclice, lieu du point M. Ce point a mêmes coordonnées ûC et y que P; son ordonnée MP = g est proportionnelle à l'arc AP : donc
(M) ^=f{t), y = ^{t), z=.Kt,
X désignant une constante positive. D'après cela.
dx=zf{t)dt, dy = o'{t)dt, dz = \dt,
On a
ds = \/ doc-"^ -h dy'^ -l- dz^ = y/ 1 -4- X- dt.
Comme y est constant, la tangente fait un angle constant avec les génératrices du cylindre, propriété élémentaire bien connue.
j^ . doL d?j d-f
rormant ensuite -r-j -7^) -r ^ on a ds ds^ ds
y! fit) ^' i'{t) R ~ I + X2' H - 1 + X2'
d'où, en ajoutant les carrés,
