f"Ht)^o"-\t

OU, d'après la valeur de -,

Le rayon de courbure, en M, varie donc proportionnellemeni au rayon de courbure correspondant de la section droite.

Gomme y' est nul, la normale principale est perpendiculaire aux génératrices du cylindre, et comme elle est perpendiculaire à la tangente, en M, à l'hélice, elle est normale au cylindre. Le plan osculateur d'une hélice quelconque contient donc la normale au cylindre en ce point. C'est là une propriété qui tient au fond à ce que l'hélice est le plus court chemin d'un point à un autre sur la surface du cylindre. jNous verrons plus tard que, sur une surface quelconque, la ligne la plus courte entre deux points est une courbe telle que la normale principale, en chacun de ses points, coïncide avec la normale à la surface.

Revenons à rhéliee et ealculons sa torsion. Comme y'= o, on a

ds

et, par suite

Le cosinus

el que y' ^sl

nul, il vient

; eomme on a

Alors la dernière formule donne

flans (M'tte formule, on voit qu'il faut prendre

puisque R cl T sont positifs. On a done

Ainsi, dans une hélice quelconque, le rapport du rayon de

courbure au rayon de torsion est constant . Nous verrons plus

i> tard que, réciproquement, toute courbe gauche, pour laquelle —

est constant, est une hélice.

Remarquons, en outre, que, v" étant négatif, la binormale MN' est placée comme le montre la figure.

Remcirque géométi-lcfue. — 11 est aisé de démontrer géométri- (ju^ment que la normale principale d'une hélice est normale au cylindre. En effet, la tangente à l'hélice faisant un angle constant avec la direction fixe Oz des génératrices, le cône directeur des tangentes est un cône de révolution autour de Oc, et la courbe a-, découpée par ce cône sur une sphère de rayon i, est un petit

cercle dont le pôle est sur O:; {f^S'' loV). I^a lan<;ente AF à la courbe 0- est alors perpendiculaire au plan AOc, et, comme elle est parallèle à la normale principale, cette dernière est perpendi-

Fig. io5.

culaire au plan AO:?, c'est-à-dire au plan tangent au cylindre sur lequel est tracée l'hélice.

197. Courbes sinistrorsum et courbes dextrorsum. — Dans les figures précédentes, nous avons représenté des hélices dextrorsum tournant de gauche à droite. Pour ces hélices, le trièdrcMf, MN', MN'', formé par la tangente {fig. io3 et io4), la normale principale et la binormale, dont les sens positifs sont déterminés par les conventions adoptées, est disposé de telle façon, qu'un observateur, ayant les pieds en M, la tête en t et regardant dans l'angle N'MN", voit MN' à droite et MN" à gauche. Dans une hélice tournant de droite à gauche, la disposition du trièdre est inverse.

Si l'on considère maintenant une courbe gauche quelconque, on voit qu'aux environs d'un point M, elle peut affecter deux allures différentes, suivant que le trièdre des directions positives M^, MN', MN" présente une disposition ou l'autre. Si cette; disposition est la même que dans une hébce sinistrorsum, on dit que la courbe, au point M, est sinistrorsum; sinon, elle est dextrorsum.

On peut se rendre compte aussi de l'existence de ces deux cas, en remarquant que, sur une petite étendue, un arc de courbe ^aiicli<.' ({iielcon(|iie peut être assimilé à un arc d'hélice circulaire; alors cet arc d'hélice peut tourner de gauche à droite ou de droite à gauche.