DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE

Soit

une fonction d'une variable indépendante x. Donnons à x un accroissement arbitraire A, y prend un accroissement

et le rapport

Ar f(x-^h)-fix)

tend vers la dérivée /'(a?) quand h tend vers zéro. On peut donc écrire

î étant infiniment petit avec /i, ou encore

i^y = hf'(x) + hz.

Cette relation montre que, si x ne possède pas une valeur particulière rendant nulle ou infinie la dérivée /'(^), Aj^est infiniment petit du premier ordre par rapport à A et admet pour partie prin-

cip,ale

hf'{x).

Cette quantité s'appelle différentielle de /; on la désigne par dy.

Définition. — La différentielle d'une fonction >- d'une variable indépendante x est égale à la dérivée de la fonction multipliée par un accroissement arbitraire attribué à la variable

dy=f'(x)h ou encore

Cet accroissement^^ étant supposé infiniment petit, dy est la partie principale de ^y, on peut donc, d'après les deux théorèmes fondamentaux, remplacer ày par dy^ toutes les fois qu'on veut chercher la limite d'un rapport ou d'une somme d'infiniment petits où figure Ay. Quand h est infiniment petit, Ay et dy sont des infiniment petits équivalents.

En particulier, la différentielle de la variable indépendante elle-même x est égale à sa dérivée i multipliée par h :

dx = h.

Remplaçant h par dx, on écrira l'expression de dy sous la forme

APPELL. — ST. 3

dy = y'x dx.

Différentielle d^ une fonction de fonction. — Soit

X étant la variable indépendante. On sait que la dérivée de }' par rapport à .r est donnée par la formule

y^r ^/'(t^.^ï^- Multiplions les deux membres par dx, et rappelons-nous que,

par définition,

dy = y'^ dx^ du = u'^ dx^ nous avons

dy =f'{ii)du,

comme si a était la variable indépendante. Ainsi, tandis que, dans la notation des dérivées, on a deux formules différentes pour exprimer la dérivée première de y par rapport à a?, suivant que y est exprimé directement en x ou est une fonction de fonction de :r, dans la notation différentielle on a la même formule pour les deux cas.

15. Différentielle d'une fonction composée. — Pour obtenir les différentielles premières de toutes les fonctions d'une variable, il suffît de reprendre les résultats établis en Algèbre pour la dérivation des fonctions d'une variable et de les traduire dans la notation différentielle.

Somme. — Soient w, v., w des fonctions de x', considérons la

somme

On a

r!c = "le -+- <^!c + ^'^'x;

Multiplions par dx et remplaçons y'^^dx^ u'^dx^ v'^.dx^ iv\ dx par leurs valeurs dj., du, d^^ div^ il vient

dy = du -r- dv -t- d\v.

Produit. — Considérons le produit

y=uv.

On a

fx

= UVjc +

vu^

et,

en multipliant

par

dy--

= u dv -i- V du.

Quotient. -

-Si

L l'on a

on

L trouve

Vu'r —

uv'^

- çl

et

, en multipli

ant

par

dx., dy--

V du —

u dv

Fonction composée. — Soit enfin le cas général où y est une fonction donnée de ii^ i', (v, ces quantités étant fonctions de ^ ;

y=f{u, V, iv).

En désignant, suivant l'iisage, par /J^, /|,, /^ les dérivées partielles de la fonction /(f<, t^, çv) prises successivement par rapport à «, (^, w^ on a trouvé précédemment (n*' 7)

y^ = fa tl'x -^f>x-^ /Iv ^'x ;

on en déduit, en multipliant par dx,

dy = f'u du -i-/; dv -^/i, dw.

16. Remarques sur les différentielles premières. — On voit, d'après ces règles dont la dernière comprend toutes les précédentes, que, pour prendre la difTérentielle première d'une fonction d'une variable, il n'est pas nécessaire de savoir quelle est la variable indépendante choisie; en effet, si Ton a

il suffit de savoir que m, v^ w sont fonctions d'une variable indépendante, d'ailleurs non spécifiée, pour écrire la différentielle

dy = f'u du + /;, dv H- /[j, dw .

Cette propriété ne s'étend pas aux différentielles d^ ordre supérieur^ dont l'expression peut changer avec le choix de la variable indépendante.

17. Tableau de différentielles usuelles. — Nous réunissons dans le Tableau suivant les expressions des différentielles usuelles :

dx"^ — mx"^—^ dx

(m constante^ positive ou négative) ;

de^ = e^ dx, da^ = a^ha dx^ 0? sinx = cos.r <ia:, â?cosa7 = — %'\x\x dx^

dldLV\%x = • dx. dcotx = dx,

d divc tans'x = —dx.

davccotx= 'dx,

ddivc sinx = ——=—Ldx,

d arc cosa: = == dx.

Dans les quatre 'dernières formules, nous prenons pour arc sin^z* et arc tan g ^- les arcs qui s'annulent avec x^ pour arccosa? et

arc cota: les arcs qui sont égaux à - pour j= o ; nous conserverons ces conventions dans tout le cours de l'Ouvrage.

Reste enfin la fonction logarithmique.

Le signe L désignant un logarithme népérien, la fonction \.x n'a un sens que si x est positif; on a alors

dLx = —dx (a7>o),

la fonction L( — x) n'a un sens que si x est négatif; on a alors d\.{ — x)=-dx (:r<o).

En général, ). désignant une. constante arbitraire, du même

INFINIMENT PETITS. — DIFFERENTIELLES. 87

signe que x^ la fonction La^ a un sens et Ton a

<r/L \x ■= — dx.

On a enfin

«La = — ox^

I d\Aix-^s/x'-^ l) = ^ ^ dx,

OÙ / est une constante positive ou négative et A une constante du même signe que le facteur qui la suit.

18. Différentielles d'ordre supérieur. — Soit y une fonction de ^ la variable indépendante x

on a

dy =f\x)dx.

Cette difFérentielle première dy est une fonction de x et de dx. On convient de regarder V accroissement dx^ attribué à la variable indépendante^ comme une constante indépendante de x. Alors dy devient une fonction de x qui admet à son tour une différentielle ; la différentielle de dy^ d (dy) est, par définition, égale à la dérivée de dy qui esif"(x)dx multipliée par l'accroissement <^iJ?

attribué à x

d{dy) =f"{x)dx'^.

xVfin d'abréger l'écriture, on emploie la notation d^y pour désigner d[dy). et l'on a, pour expression de la différentielle seconde

de y,

d'^yr=f{x)dx\

Cette différentielle est, à son tour, une fonction de x dont la nouvelle différentielle est

d'^ y = f" {x) dx^ .

car dx est constant; on a ainsi l'expression de la différentielle troisième. On obtient de même, n étant un entier positif,

d'^ y = f^''\x) dx" .

Inversement, les dérivées successives de y par rapport à x

s'écriront avec la notation différentielle :