VII. - EXERCICES SUR LES COURBES GAUCHES
198. Ligne dont la courbure est nulle. — Si l'on cherche la ligne dont la courbure est nulle, — = o, en chaque point, on doit évidemment trouver une droite. En effet, les formules
dy. a' 'ds "" R '
d^ P' ds ~ R'
ds R
deviennent alors
da
Elles montrent que a, [ii, y sont constants. La tangente à la ligne ayant une direction fixe, prenons l'axe Oz parallèle à cette direction, nous aurons
dx dy dz
ds ds ds
On en. conclut
A, B, G étant des constantes. La ligne est donc une droite parallèle à O^.
199. Lig-ne dont le plan osculateur est indéterminé en chaque point. — Pour que le plan osculateur soit indéterminé, il faut et il suffit que les coefficients de l'équation du plan osculateur soient nuls en tous les points' de la ligne :
On en conclut
dyd-^z
-dzd-^
dz d^x-
-dxd'-
dx d'-y ■
- dy d-^
d'-x dx
d\y dy
d'-z dz
Tout d'abord, la relation
d-x d- z dx dz
donne, en intégrant,
L dx = L dz + L rt,
a désignant une constante. On en déduit
dx = a dz, X = az -i- h,
h étant une nouvelle constante. De même la relation
d-^y ^ dy dz
donne
y^bz-^k,
h et k étant deux constantes. Les deux équations ainsi obtenues, X "= az -{- h^ y = b z ■+■ k,
définissent une lione droite.
200. Courbe dont la torsion est nulle. — Nous allons montrer qu'une courbe, dont la torsion est nulle en tous ses points, est plane. En effet, si - = o, les formules
dy!' 7.' d^" P' dy" y'
donnent
^5 T' ds t' ^^ T
doL" d&' dy"
ds ds ds
Donc a", ^\ j' sont C07isfants et la binorniale a une direction fixe. Prenons l'axe Oz parallèle à cette direction, nous avons
Alors le plan osculateur est perpendiculaire à O^, et l'on a
dy d'^z — dz d-y = o, dx d^ z — dz d^x = o.
Ces deux équations sont du premier degré en dz et d-z', comme
le déterminant
dy d^ X — dx d-y
COURBES GAUCHES. — COURBURE ET TORSION. 33 f
ne peut pas être nul, car, s'il était nul, le plan osculateur serait
indéterminé, on a
dz =: o, <r/-2 = o,
c'est-à-dire
la courbe est donc située dans un plan parallèle au plan des xy.
201. Une courbe, le long de laquelle ^ est constant, est une hélice. — Pour démontrer ce théorème, remarquons cjue les formules
ds
ds
^ ÏÏ'
dy!
df
ds
ds
- Fp,
ds
donnent, par division, en supposant - = a,
dy." — A <^a, d'~f — X d^, dr" = X dy.
Gomme A est supposé constant, on a. par l'intégration,
a" = À a — rt , [i" = X ,S — 6 , y" — X y — c,
OÙ a, /v, c sont des constantes crintégration. Multipliant la première de CCS équations par a, la deuxième par fi, la troisième par y et ajoutant, on a .
(i) o = X — ('aa+ è^S -h cy),
car
aa"-f- p^"+yy"= 0, a^ h- [32 + y2 = i.
Cette relation ( i ) montre cjue a, 6, c ne peuvent pas être nuls en même temps, car elle donnerait A =: o. Elle exprime que la tangente à la courbe fait un angle constant a\ ec la direction
abc
En effet, appelons 0 l'angle de la tangente avec cette direction D^ on a
aoc-hèp + cy X
cosO
9 est donc constant. On en conclut que la courbe est une hélice tracée sur un cylindre, dont les génératrices sont parallèles à la direction (D). En effet, si, par les différents points de la courbe, on mène des parallèles à (D), on obtient un cylindre, dont la courbe coupe les génératrices sous un angle constant. En développant ce cylindre, on transforme la courbe en une droite.
202. Une courbe, dans laquelle R et T sont constants, est une
hélice tracée sur un cylindre de révolution. — En effet, tt, étant
constant, la courbe est une hélice. Or nous avons vu (n° 196) que, dans une hélice tracée sur un cylindre quelconque, le rayon de courbure R, en un point quelconque, est en rapport constant avec le rayon de courbure o du point correspondant de la section droite du cylindre. Si donc R est constant, p Test aussi et la section droite du cylindre est un cercle. Ce qui démontre le théorème.
VIII. — ÉTUDE D'UNE COURBE GAUCHE DANS LE VOISINAGE D'UN POINT NON SINGULIER.
203. Développements des coordonnées en fonction de l'arc. Prenons comme origine un point O de la courbe, pour axe des x la tangente, pour axe des y la normale principale, pour axe des :: la binormale. Soient M un point de la courbe voisin de O, 5 Tare OM,
a, p. V, a', (i', v', a", p\ y" les cosinus directeurs de la tangente, (h' la normale principale et de la l)inormale en ce point, R et T les rayons de courbure cL de torsion au même point. Au point O, ,v est nul, R et T prennent les valeurs Ro et Ty, et les neuf cosinus
])rennent, à cause du choix des axes, les valeurs suivantes :
f ao = I, Po = o, To = o,
(i) «0=0^ !^o= ': To= o,
Les coordonnées .r, j', z du point M sont des fonctions de .9 :
que nous développerons par la formule de Mac-f.aurin en remarcjuant que/(o), ^(o), '}(o) sont nuls :
a- = sf (o) 4- |/'(o) + |/"(o) +. . . , Z =S'h'(o) +i'<];"(o)+~f"(o)+....
Calculons les premiers coefficients de ces développements.
/A 1^ 1 I . • <^^ (Jy (i^ , . o
Un a d abord, en écrivant que -y j -r-> -7- sont eoaux a a, p, v
^ rt.ç ds as ^ 7 17,7
dérivant encore jnir rapport a 5, et remplaçant — par —,..., on a
dérivant encore une fois, en désignant par R' la dérivée de R par rapport à s et rappelant que -^ = — — — — , etc., il vient
