HI

•^Ho

Ha

6l^oTo

Si l'arc, s = CM, est inlîniment petit, a: est, par rapport à .s-, du premier ordre, y du second, z du troisième; x a le signe de 5, j' a le signe + et ^ celui de — s'\ \a\ courbe a donc la disposition indiquée sur la figure io6, où Ton a ponctue la partie de courbe située au-dessous du plan des xy. Comme ^ change de signe avec s, on retrouve ce théorème que \e pla/i oscillateur traverse la courbe.

20 i. De tous les plans passant par O, le plan osculateur en O est celui qui se rapproche le plus de la courbe. Eu effet, un plan passant par O a pour équation

AX ^BY — CZ = o.

La distance du point M {^x,y, z) à ce plan est

En remplaçant x^y^ z par les dévelop])ements (2). on voit que, si A n'est pas nul, 0 est infiniment petit du premier ordre par rapport à 5; si A est nul, sans que B le soit, le plan passe par la tangente et ne coïncide pas avec le plan osculateur, 0 est du deuxième, ordre; si A et B sont nuls, le plan coïncide avec le plan osculateur en O, 0 est du troisième ordre. Le théorème est donc démontré.

2O0. Cercle osculateur ou cercle de courbure. Soient M un poiut

delà courbe {fig- io6), A sa projection sur le plan osculateur xOy en O, P sa projection sur la tangente Ox. Nous allons d'abord démontrer, comme pour une courbe plane, que le rayon de courbure Ro, au point O, est donné par

quand M tend vers O. Pour cela, remarquons que, dans le triangle

rectangle MAP, l'angle en P, que nous appellerons Q, mesure

Tangle du plan OPM avec le plan^Oy, osculateur en O. Quand M

tend vers O, le plan OPM, passant par la tangente Ox et le point M

infiniment voisin de O, tend vers le plan osculateur en O, xOy^

et 9 tend vers zéro.

Comme on a ~

AP = MPcosO,

on voit que

ôp' ôp'

2MP iAP

et comme cosO tend vers i ,

cos6,

,. OP" ,. OP" ,. x^