IX. - DÉVELOPPEMENT D'UNE SURFACE DÉVELOPPABLE SUR un' PLAN

206. Figure schématique d'une courbe gauche. — On peut se représenter une courbe gauche comme un polygone gauche ABCDE... d'un nombre infiniment grand de côtés intiniment petits. Les tangentes sont alors les prolongements des côtés BB', ce ...; les plans osculateurs sont les plans de trois sommets consécutifs ABC. BGD, ...; les cercles de courbure, les cercles passant par trois sommets consécutifs ABC, BCD,

207. Une surface développable peut être exactement appliquée sur un plan. - C'est cette propriété qui est l'origine du nom de surface déi' eloppab le : Y opération qui consiste à appliquer la surface sur un plan s'appelle le développement de la surface.

Pour démontrer cette propriété, nous généraliserons le mode de raisonnement employé, dans les éléments, pour développer les cônes et les cylindres.

Considérons l'arête de rebroussement comme un polygone ABCDE... d'un nombre infiniment grand de côtés infiniment petits. Les tangentes successives à l'arête de rebroussement sont les prolongements des côtés du polygone ; une première tangente est ABB', une deuxième BCC, une troisième CDD', Les tangentes définissent une surface polyédrale dont les faces sont les angles BBC, CCD', D'DE', ... que nous numérotons 1, 2, 3, . . . {fig' io8). Cette surface polyédrale a pour limite la surface

développable quand le polygone ABCDE... devient une courbe. On peut développer, sur un plan, cette surface polyédrale de la taçon suivante :

Faisons tourner le plan de la face 1 autour de BCC, de façon à

Appiii.L. — Êlcmcnts d'Analyse. — st. 22

l'amener dans le prolongement de la face 2. Faisons ensuite tourner Fensemble des faces 1 et 2 ainsi obtenu, autour de CDD', jusqu'à ce qu'il se place dans le prolongement de la face 3. Puis faisons tourner l'ensemble des faces 1, 2 et 3 ainsi obtenu autour de DEE' jusqu'à ce qu'il se place dans le prolongement du plan de la face 4, et ainsi de suite. JNous arriverons finalement à mettre toutes les faces de la surface poljédrale dans un même plan, et nous aurons ainsi le développement de la surface sur un plan.

208. Quand on applique sur un plan une surface développable, le rayon de courbure, en un point de l'arête de rebroussement, ne change pas. — Pour démontrer ce théorème, remarquons (|ue. dans l'opération que nous venons de faire pour dévelop])er la surfa?ce polyédrale, dont les faces sont 1, 2, 3, ..., les certes et les angles; du polygone ABCDE. . . restent les mêmes. Pour les côtés, la proposition est ésidente. Pour les angles, quand on amène, par une rotation autour de BCCV, la face 1 sur le prolongement de la face 2, Taiigle ABC du polygone ne change pas, carie ccMé AB. tournant autour de BC, décrit un cône de révolution d'axe BC. De même, quand on amène les faces de l'ensemble 1 et 2. ainsi obtenu, à coïncider avec le prolongement de la face 3, par une rotation autour de CDD', l'angle BCD ne change pas, et aiîisi (]e suite. 11 résulte de là que les rayons des cercles, [)assanl par trois sommets consécutifs du polygone, ABC, BCD, ... ne changcnl pas. Quand les côtés du polygone tendent vers zéro, le ])olygone devient une courbe et les cercles, passant par trois sommets consécutifs, deviennent les cercles de courbure aux différents points de la courbe. Comme ces cercles ne changent j)as dans le dé\eloj)])ement, le rayon de courbure, en un point de i'aréte de rebrousscment, reste inaltéré dans le déveloj)pement.

209. Application. — Le théorème [)récédent donne un moyen de voir ce (|ue devient l'arête de rebroussement d'une surface développable, quand on dévelop])e la surface.

Pour cela, on prendra un point () comme origine des ares, 0'M= 5, sur l'arête de rebroussement, et l'on calculera l'expression du ray(jn de courbure R de rareté, en un point quelconque M, en fonction d<' l'are s :

DÉVELOPPÉES ET DÉVELOPPANTES. 3jC)

Par le développement, l'arête de rebroiissement devient une courbe plane toa, co étant ce que devient le point O' et jj. ce que devient le point M. La courbe plane wa a même longueur d'are que l'arcte de rebrousscmeut

a rc CD ij. = s et même rayon de courbure en a :

Pour trouver la courbe urj., on est donc ramené à trouver une

1m g. lOf,.

courbe plane, connaissant le rayon de courbure en fonction de Tare, problèmes que nous avons résolu au n^ 167.

Par exemple, si Tarête de rebroussement est une hélice circulaire, Pi est constant (n" 19o) ; donc, par le développement de la surt"a(;e développable formée ])ar ses tangentes, l'hélice circulaire se transforme en une courbe plane ayant un rayon de courhure constant Pi, c'esl-à-dire en un cercle de rayon R.