X. - DEVELOPPEES ET DEVELOPPANTES
i210. Développées. — Considérons une courbe quelconque, j)lane ou gauche C, et menons-lui une suite de normales formant une surface développable, c'est-à-dire admettant une enveloppe. Celte enveloppe (arête de rebroussement de la surface développabhî formée |)ar les normales considérées) s'appelle une dévelop/)ée de la courbe.
D'après cela, une courl)e a une inhnité^le développi'cs. En eft'et, prenons arbitrairement une normale MoN^ au point Mq. Au point voisin M,, on peut mener une normah^ M|N, rencontrant MoNq en un point iN,; il siiflil, jjour cela, de joindre M, au j^ointlS^,
3^0 cHAPirni-: xi.
où le plan normal, en M,, coupe M^No- De même, au point IVL,. voisin de M, , on peut mener une normale M2N2 rencontrant M, JN , en un point INo, ..., et ainsi de suite. On obtient, de cette façon, une surface poljédrale dont les arêtes, constituées par les prolongements des côtés du polygone NoN< No N3. . ., sont toutes normales à la courbe.
Si l'on suppose que les points Mo, M|, M2, M3, ... se rapprocbenl indélîniment, cette surface poljédrale devient une surface dévcloppable dont toutes leS génératrices sont normales à la courbe;
le polygone NoNjNoNa. .. devient l'arête de rebroussement de la surface développable, c'est-à-dire une développée de la courbe.
On a donc ainsi une développée tangente à une normale ini^ tiale MqNo arbitrairement choisie.
211. Propriété fondamentale des développées. - Considérons une développée D, de la courbe C; soit MM^ une normale à C,
en M, tangente à D,, en M, {fig. i i 1 )• Désignons par / la longueur de cette normale
/ = MiM,
et par 5, l'arc de développée 0,M,, compté à partir d'une origine
DÉVELOPPÉES ET DÉVELOPPANTES. 34 I
fixe O,, de telle façon que la tangente M, M soit menée dans le sens des arcs Si positifs. Soit M'jM' une normale infiniment voisine à C tangente à D| , en M'j, l-^-dlla longueur de M'^ M/.
D'après la formule générale donnant la différentielle de la longueur d'un segment de droite (n*^ 172), on a
dl = — MM' ces ÎNIMM^ - M, M; cos M[ Mj M.
Mais cos M' MM, = o, car MM, est normale à MJNl' ; cos M, M, M:= i , car M, M est tangente à la développée D, ; enfin
Ml m; = dsi.
On a donc
dl ~ — dsi.
Intégrant et désignant par c une constante,
l ^ Si= c.
Donc la somme de M, M et de Varc 0,M, est constante. La développée étant supposée connue, on peut tracer mécaniquement la courbe G en prenant un fil inextensible de longueurs, attachant ce fil en Oi et Fenroulant partiellement sur la développée de O, en M,, en le maintenant tendu de M, en M. L'extrémité M du fil décrit la courbe G.
On pourra démontrer, comme exercice, que la normale principale M,N', à la développée au point M, est parallèle à la tangente ^\t en "Vf à la courbe.
212. Courbes planes. — Une courbe plane possède une développée située dans son plan; elle possède, en outre, une infinité de développées, dans l'espace, qui sont des hélices tracées sur le cylindre droit, ayant pour base la développée plane.
Développée plane. — Les normales à la courbe, situées dans le plan de la courbe, ont évidemment une enveloppe qui est la développée plane. Le point de contactM^ dhine de ces normales avec la développée est le centre de courbure M, de la courbe donnée., relativement au pied M de la normale. En effet, ce point de contact M, est le point de rencontre de deux normales infiniment voisines, c'est donc (n"^ 159) le centre de courbure. Ainsi la déve-
34 i CHAPITRE XI.
loppce plane d'une courbe plane esl aussi le lieu des centres de courl)ure de la courbe. Le tracé de cette courbe donne donc la représentation graphique de la variation du rayon de c()url)ure.
Exemples. — • Ellipse. — Soit Tellipse, ra])|)ort
ee îi ses axes.
Les coordonnées d un point '^\\x^ y) de la courbe, en t'onclion d'un paramétre //. sont
X — a coiu, y — bs\r\ii.
L'équation de la normale à l'ellipse, au point jM(j^,y), est
(X — x) dx -4- ( Y — y) dy = o, ou
— (X — a cos w) a sin « -f- ( Y — h sin w) b cosu = o,
ou enfin, en remplaçant a- — ù- par c- et divisant par cos?/ s'iuUy
cosu mn Li
Pour obtenir le point de contact de cette droit<' a\ec son env
loppe, il faut associer à l'équation précédente sa dérivée par rapport au paramètre (( :
aX s'inif bY cos u
cos-// sm-u
En résohant ces deux équations |)ar ra[)porl à \ el \, o coordonnées du point de contact M,, c'est-à-dire du centre courbure de l'ellipse, relatif au point INI i/ig- ' 12).
n a les de
DEVELOPI'I^ES ET DEVELOPPANTES.
On trouve ainsi (M,) X
