COS'^ II

Y =: — — sin3 a.

Onand u \arie de o a -, le poinl M, décrit un arc de courbe, situé au-dessous de O^, tangent à Ox au point C / X= — , Y = qui est le centre de courbure relatif au sommet A. et tangent à Or au point D (X = o, Y 1= — t)^ 4^'^ ^^^ ^^ centre de courbure relatif à B. ,

On achève ensuite la courl^e par symétrie.

On pourrait décrire l'ellipse avec un fil; en prenant un fil attaché en l). enroulé sur Tare DM|C, puis tendu jusqu'à A extrémité du fil. Si l'on déroule ce lil, en le maintenant tendu, son extrémité décrit l'arc AMB; elle arrive en B quand le (il est entièrement déroulé.

Cycloïde. — La cjcloïde est engendrée par un point M d'une circonférence, de rayon a, roulant sur un axe fixe O^ {fi§'' ï i3).

Supposons que le point qui décrit la courbe parte de O : alors, quand le cercle roulant est dans une position quelconque, on a, en appelant 1 le point de contact, 01 = arclM. Quand le cercle roulant a fait un demi-tour, le point M est au point le plus haut F de l'arc de courbe et le point de contact est en E à une distance OE = -«, égale à la demi-circonférence roulante.

Ce'ci posé, la normale en M est MI et le centre de courbure M^ s'obtient en prenant 1M< = IM (n° 157). La développée est le lieu du point M,.

Prolongeons P'E d'une longueur EO,= :>a:=FE et menons par 0| une parallèle 0^x^ à O^. Puis considérons le cercle symétrique du cercle roulant par^rapport à Ooo', ce cercle touche OtOCt en un point 1, ; il passe évidemment par M,. Nous allons montrer que

arcI,Mi= OiIj

En effet.

arcIiMi=7:a — arcIMi=: Oi: — arcIM = OE — 01 = Kl = OiI,.

L'arc I,M, étant égal à 0|I,, on peut considérer le lieu du point M,, comme décrit par un point d'une circonférence I,Mil, de rayon a, roulant sur O^Xi. Quand la circonférence IMB roule sur 0:r, la circonférence I| M, I roule sur 0^ j;, dans le même sens, et quand M arrive en F, M, arrive en Oi; le mouvement conlinuant, M va de F en Oo et M, remonte de 0| en Oj. La développée de la cycloïde OFOo est donc formée des deux moitiés d'une cycloïde égale à la proposée, Tare OM, 0| étant égal à FO2 et l'arc OjOo à OMF; ces deux arcs sont d'ailleurs égaux entre eux.

En attachant en 0< un iil 0|F de longueur 0,F et l'enroulant sur la développée vers la droite, ou vers la gauche, l'extrémité F du fil décrit les deux arcs FOo ou FO.

213. Développées dans l'espace d'une courbe plane. — Soient une courbe plane C, sa développée plane D, et une développée gauche Do. D'un point M de la courbe partent deux normales, l'une MM, tangente en M, à la développée plane D,, l'autre MM2

Fie. I.',.

tangente en M^ à la développée Do. Tout d'abord, la projection de Do sur le plan de la courbe coïncide avec D,. En effet, la projection de la normale MMo se fait sur MM, ; si des droites sont tangentes à une courbe dans l'espace, il est évident que leurs pro-

DIÎVHLOPPKES ET DÉVELOPPANTES, 345

jections sur un plan sont tangentes à la projection de la courbe ; actuellement les droites MMo sont tangentes à Do, leurs projections MM, sont donc tangentes à la projection de 'Do. Ainsi D, est la projection de D2 ; le point de contact M, est la projection du point de contact Mo. La développée gauche est donc tracée sur le cylindre droit, ajant pour base la développée plane D, .

Quand le point M décrit la courbe plane donnée, le plan MM, Mo, tangent au cylindre le long de M, Mo, s'enroule sur le cylindre et les deux droites MM, et MMo s'enroulent sur les développées D, et Do. La développée Do est donc une hélice tracée sur le cylindre droit de base D, .