Développantes. — On appelle développante d'une courbe
une autre courbe dont elle est la développée. Etant donnée une
courbe C,, pour construire une de ses développantes, il suffit de
porter sur chacpie tangente M, M de la courbe une longueur /
telle que
arcOi Ml -\- l — c,
C désignant une constante (^n*^ 2M).
En faisant varier la valeur de cette constante, on obtient une infinité de déveloj^pantes. Si l'on choisit l'arc 0,A égal à c, on peut dire aussi qu'on prend sur chaque tangente M, M une longueur M, M égale à l'arc M, A. La développante considérée coupe la courbe au point A {fig-
Les diverses développantes d'une même courbe sont des courbes parallèles : en effet, si Ton considère une deuxième développante A'M', les tangentes aux deux développantes, en M et M', sont perpendiculaires à M, MM' et, par suite, parallèles. La longueur MM'
est constante et égale à Tare AA'.
La détermination analytique des développantes d'une courbe exige une intégration, car elle exige le calcul de la longueur 5, de l'arc O, M,.
215. Exemples de développantes. — \'\Développante de cercL^. . — Considérons la déxeloppante qui pari du ])oint A, situé sur OiP; on l'obtient en portant, sur chaque tan^eute M, M, une longueur MiM, égale à Tare AM^. Soient u Fangle AOM,, a le rayon du cercle, les coordonnées du point M, sont
^i = acos?<", yi = as\nu.
L'arc AM^ étant égal k au, on a M, M = an. En projetant 0M^^1 sur les axes, on a les coordonnées x et y du point M
X =^ a co'i a -^- au sm u , y = a sin u — au cos u .
On peut, avec ces formules, construire la courbe. La tangente, en M, est parallèle au rayon 0M^.
Fiii. II 6.
La courbe AM, ainsi trouvée, a pour développée plane le cercle donné : elle a donc (n° 213) pour développées gauches des hélices tracées sur le cylindre droit ayant pour base le cercle.
2" Développante dUme chaînette. — Soit une chaînette ayant pour équation
ai -^ --\ '
Nous allons déterminer la développante partant du sommet Bde la courbe sur Taxe Oy [voyez. \si fîgure^43 du n" 65).
Soit M un point de la chaînette. On obtient le point correspondant de la développante en [)ortant, sur la tangente, une longueur MC égale à l'arc BM. Or nous avons vu (n^' 65) que le point G s'obtient en abaissant du pied P de Tordonnée de M une
DÉVELOPPÉES ET DÉVELOPPANTES. 'Uj
perpcinliculairc PC sur la Laiîi;eiilc cl que la luni;ueiir P(^ est ('jL^alr à a. La langciile, en (1, à la (lé\el()[)|)anle, étant perj)endiciilaire à CM, se eonlond avec (^P. l^a (lévcl()p[)anle, partant de B, e>l donc iinc^ e<)iirl)e tclh; que la lon<;ueur de ses tangentes Cl* jusqu à Taxe O^' soit constante-. C'est la courbe aux tangentes égales étudiée au n" 147.
Les au! res déscloppanles de la chaincntc seul des courbes parallèles à la eour!)e aux langentes égales.
!216. Remarque sur le lieu des centres de courbure d'une courbe gauche. — Nous avons \u plus liaut que, dans une courbe plane, le lieu des centres de courbure est une développée de la courbe.
Mais il faut remarquer que, pour une courbe gauche^ le lieu des centres de courbure n'est Janiais une développée de la courbe. Nous ne nous arrêterons ])as à démontrer cette pro[)osition. On poui'ra \érilier tacilement que les normales principales à une courbe gauche n'ont pas cV enveloppe^ ce qui démontre la proposition énoncée.
