I -i- X -{- y -\- .r- -f- xy -f- y

ly,

où les exposants m et n prennent toutes les valeurs positives entières. Ce développement est absolument convergent pour

— I<JK<I

Cas <^énéraL -— Prenons maintenant une série ordonnée par rapport aux puissances positives croissantes de deux variables x etj:

( i) «0,0 -^ «i,0"'' -^ «o,ir -i- «2,0^- 4- «1,1-2:7 + «0,27- -+-

Clm,nX'^'y"

OÙ lïi et 11 prennent toutes les valeurs entières et positives, les coefficients constants «q <,, «, 0, ^o.r ••'' ^mn ^^^ succédant suivant une loi déterminée.

On a alors le théorème suivant :

Une série de la forme (1) est convergente pour des valeurs de x et y comprises dans des intervalles symétricjues par rapport à zéro.

On démontre ce théorème par un raisonnement qui est Textension naturelle de celui qui a été employé au n*^ 83.

Supposons, en effet, que la série (i) soit convergente pour .T = a, r = ri; nous allons démontrer qu'elle est convergente et même absolument convergente pour toutes les valeurs de x et jk> telles que

et

dési^rnant les valeurs absolues de - et -

■Lw effet, la série étant convergente pour x = a. y ;énéral