le terme

tend vers zéro, quand l'un des entiers m et n croît indéfiniment, ou (luand ces deux entiers croissent indéfiniment suivant une loi

35o qiielconqiK

Vima,n,n^-"'P"= o.

On peut donc assigner des valeurs m' cl n assez grandes poui qu'on ail

pour toutes les valeurs de m et n telles que

Cela j)osé, écrivons la série (i) sous la forme su i^ an te :

La série se compose d/abord d'un nombre limité de termes poiiilesquels les exposants m et n sont moindres que m' et n \ pour les autres termes, en nombre illimité,

711 ^ ni , n ^ n\ on a

<^t, par suite, pour la valeur absolue du term(^ général,

« -"?"(f) ftj i< f '"

Or la série, dont le terme iiénéral est

<'st convergente, d'après le cas particulier pi-éec-dent, et a pour somme .

dès que

[-i^ij[-ifij

<^ Mf <i

La série proposée est donc absolument convergente, dés (pie œ

FONCTIONS mi DIÎUX VARIABLES.

'l y possèdent des valeurs telles que

ce qui démontre le théorème.

t219. Interprétation géométrique. — Si Ton appelle z la somme (le la série

(•2) ^ = ao,o+«i,o-27-f-ao,ijK^-. . .+ «/;:,,i^'-J""^ + o,. 0,

la fonction c définie par cette relation existe pour

Si donc l'on considère dans le plan des xy les quatre droites

ces quatre droites forment un rectangle ABCD {/Ig- i 17)7 et, pour

Fig. 117.

tout ]>oint P de coordonnées x et j' situé dansée rectangle, la leur de 0 existe. On peut donc dire que l'équation (2 ) définit portion de surface courbe A'B'CM)' se projetant horizoïitale-

UIK

ment sur le rectangle ABCD.

On a ainsi l'extension aux fonctions de deux variables du théorème rencontré antérieurement pour les fonctions d'une variable (ii«83).

On peut appeler ABCD le rectangle de convergence de la série (i).

220. Différentiation et intégration des séries de puissances entières et positives de deux variables. — Lue série telle que (i)

dt'tiuil, dans le reclungle de convergence, une lonelion de x et v,

f{oc,y) = ao,o-+- «1,0^ -4- «0,1 r -h . . .-i- a,-;i,/:^"'''y'-H- •• •

On peut démontrer, comme pour le cas d'une variable, les deux théorèmes suivants que nous énonçons seulement :

i^ Si Von prend les dérivées partielles de tons les termes de la série f{oc^ y) par rapport à x ou à y, la nouvelle série obtenue converge dans le même rectangle que la première et a pour somme la dérivée partielle

f'x ou /;..

'2^ Si V on multijdie tous les termes de la série par dx et si Von intègre^ par rapport à x^ de v> à x, la nouvelle série obtenue est convergente dans le même rectangle que la proposée et a pour somme

f{x,y)dx.

On a un théorème semblable pour Vautre variable y.

221. Série de Mac-Laurin pour une fonction de deux variables.

— Etant donnée une fonction de deux variables /(^r, )), proposons-nous de la développer en une série procédant suivant les puissances entières et positives de x el y :

Le problème est de calculer les coefficients a,,, ,^ quand la fonction est donnée. Pour cela, prenons les dérivées successives des deux membres par rapport à x el y :

àf

^ = «1,0-^ 2a2,o^-i- «l,lj'

àf

ai,i,rH- 2rtc,27

âx' ôy

à\f (Jy-

-- 2ao,2-^. .,

les termes non éerils contenant x ou y en facteur. Dans tous cesv développements, faisons :r = o, y := o; nous avons

"^•''=l(^A' «'•■=l,tej7Jo' ""•'=îl'"5^j.'

On a ainsi le développement demandé /(,,,r,-/(o,.)^-,(g)»,-{|)

où les indices o signifient que, après avoir pris les dérivées, il faut y remplacer :r etjK p^«i* o.

On a ainsi l'extension à deux variables de la série de Mac- La u ri n.

Pour que ce développement soit applicable, il faut :

Q/ ()/n-hn /• \ ue toutes les dérivées ( -^ ) soient finies et déter-

minées;

2^ Que la série soit convergente pour certaines valeurs de x ely ; 3^ Qu'elle ait alors pour somme la fonction donnée /(.r, y).

Si l'on suppose ces conditions remplies, la série représente la fonction /(.x, y) pour toutes les valeurs de ^ el y qui la rendent convergente, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de .r et jk comprises, respectivement, dans des intervalles symétriques par rapport à zéro.

Géomélj'lquement^ si Ton considère la surface

la série

représente la portion de cette surface qui se projette sur le plan des xy dans un certain rectangle ABGD {fig. 1 1")-

Auti'cs notations. — Désignons par />, q^ /-, .v, t les dérivées

Appkll. — • Élcincuts d'.inali/xc. — st. 23

ar rapport à x et y iyvoyez n°

i)z i)f <)z P ~ ô^ ^ tv' "^ ~ ày ~

Convenons en outre de désigner par Zq^ /)o5 ^o? ''o^ "^o, ^o les valeurs de la fonction et de ses dérivées pour x = o, y =z o. Nous pourrons alors écrire les premiers termes du développement de la façon suivante :

z = ^o + />o^+ ^oJK + -(roX^-h -îSoxy -^ toy^) -+-...

222. Série de Taylor. — La série de Mac-Laurin permet de développer la fonction

pour les valeurs de x el y situées dans un rectangle ayant pour sommet l'origine, et, par suite, d'étudier la surface représentée par l'équation (3), dans le voisinage du point où elle coupe l'axe O^.

Si l'on veut étudier la même fonction /(^, y) dans le voisinage d'autres valeurs

on ramène ce cas au précédent en posant

et l'on étudie la fonction

pour des valeurs de x' et y' voisines de zéro. Si l'on développe cette fonction de x' et y' suivant les puissances positives et croissantes de x' et y\ on doit, pour former les coefficients du développement, calculer les valeurs des dérivées partielles

àf ,)/ i)\f <Pf ox ()y (Ix - o.f ()y

pour x' =^y' ^= o, c'est-à-dire les valeurs des dérivées

^, 'IL, 'tl, JIL,

()x ()y à.T^ ()x ()y pour X =^ a^ y =^ b] nous désignerons ces valeurs par

<)a ()b <)a~ àa àb

On a alors le développement

f(a-^x', b-hy)=f(a, b)^x''-£ -^y'j^

ou encore, en appelant

les valeurs des dérivées premières et deuxièmes de j\x^ y) pour x = a,y = b,

(1) f{<^-^^'^ b -hy)=f{a, b)-^px'^qy

H (/-x'^-^isx'y -{- ty'^) -^. . ..

Ces développements sont convergents pour les valeurs de .r'etj' comprises dans des intervalles symétriques par rapport à zéro.

Fiff. iiS.

•cb

Au point de vue géométrique, considérons, sur la surface, le point R dont la projection O' sur le plan rOy a pour coordonnées a et b. Le cliangement de variables

revient à transporter les axes de coordonnées, parallèlement à euxmêmes, au point O', en 0'.r', O' y' , O' z' {fig''- i i8).

Par rapport à ces nouveaux axes, la surface a pour équation

Le développement en série (4) suivant les puissances de x' et y' est convergent dans un rectangle situé dans le plan des x' y' ^ ayant son centre en O' et ses côtés parallèles aux axes; ce développement représente donc la portion de surface qui se projette horizontalement dans ce rectangle.

Autre notation. — Cliangeant, dans le développement (4), a eV h Q,n X et jk^ oc' et >' en li et /:, on a le développement

ou encore

f{x-^lKy + k) =f{x, y) -i- ph + qk + - ( rli^ -+- islik -H tk^-') + . . . ,

développement convergent pour des valeurs de A et A' suffisamment petites en valeur absolue.