II. - PLAN TANGENT A UNE SURFACE
223. Définition et équation. — Soient une surface ayant pour équation
et un point M de cette surface ayant pour coordonnées ^, j', -3. Par définition, le plan tangent en M est le lieu des tangentes menées, en M, à toutes les courbes tracées sur la surface par le point M. Imaginons une courbe quelconque MC tracée sur la surface et passant par M { Jig. i if))- Le long de cette courbe, les coordonnées d'un point sont des fonctions d'un paramèlre u vérifiant identiquement la relation
Quand on fait varier u infiniment peu, le point M subit, sur la courbe C, un déplacement infiniment petit MM' ayant pour projections les différentielles dx^ dy^ dz des coordonnées regardées comme fonctions de u. Les équations de la tangente M/ à la
courbe C sont alors, en appelant X, Y, Z les coordonnées courantes,
X — rY — >-Z — s
dx dy dz
Comme les fonctions x, j', z de la variable n vérifient identiquement la relation
on a, en appliquanl la règle de différentiation des fonctions composées, /
d^ = fx dx -\- fy dy ,
relation que nous écrirons
(2) dz = p dx -h q dy,
en désignant, pour abréger, par p et q les dérivées partielles de z par rapport à .r et r : *
OU. encore
<)z ôz
(Ix oy
En remplaçant dans l'équation homogène (2) dx^ dy, dz par les quantités proportionnelles X — x, Y — JK, 2, — 3 tirées des équations (i) de la tangente, on a l'équation du lieu des tangentes
Telle est Téquation du plan tangent au point (.r, )', z).
224. Normale. — La normale au point (,r, .>', s) à la surface, étant la perpendiculaire au plan tangent, a pour équations
(4) i^ = Iz:Z = î^. ^
225. Cas où la surface est définie par une équation non résolue. — Soit
(5) F(^,jK, ^) = o
l'équation de la surface. Cette équation définit z comme une fonction implicite de x ei y qu'on peut désigner par
Pour calculer la dérivée partielle de z par rapport à .^, — =/?,
on prendra la dérivée du premier membre de (5) par rapport à x^ en j regardant z comme fonction de x : on a ainsi
ou
On a, de même, en difFérentiant par rapport à )',
Ces relations donnent les valeurs de p eX g : en les portant dans les équations du plan tangent et de la normale, on obtient les équations :
/ (Plan tangent) (X — ip) F^ -+- ( Y - jk) F;.+ (Z - ^') FI = o;
(Normale) ___ ^ -^ ^ ___ .
Nous prendrons, ordinairement, les équations du plan tangent et de la normale sous les formes (3) et (4). Quand l'équation de la surface n'est pas résolue par rapport à Zj on se rappellera que p elq sont définis par les relations
FONCTIONS DE DEUX VARIABLES. SScj
226. Points singuliers. — Il peut se faire qu'en un point (.r, y^ z) de la surface déiinie par l'équation
F(a?, jK, ^) = o,
les trois dérivées partielles
F^, F;, Fi
soient nulles toutes les trois. Alors l'équation du plan tangent sous la forme (6) n'existe plus. Les valeurs àa p et q apparaissent sous forme indéterminée. Les points spéciaux pour lesquels cette circonstance se présente s'appellent/?o//^/.s' singuliers de la surface. En un tel point, les tangentes aux diverses lignes tracées sur la surface ne forment plus un plan, mais un cône dont le degré peut être plus ou moins élevé. Par exemple, le sommet d'une surface conique est un point singulier de la surface : les tangentes aux diverses courbes tracées par ce point sur la surface conique forment évidemment un cône qui se confond ici avec la surface conique elle-même.
227. Remarque. — T.a tangente à une courbe en un point M est la limite d'une droite joignant le point M à un point M' infiniment voisin. Il ne faudrait pas croire que le plan tangent à une surface en un point M est la limite d'un, plan passant par M et par deux points infiniment voisins M' et W pris sur la surface. Le plan MjVFM'^ tend vers des positions limites diverses qui dépendent de la façon dont les points M' et M" tendent vers M en se déplaçant sur la surface.
Par exemple, si les points W et IVI" tendent vers M de façon que les droites MM' et MM" tendent vers deux tangentes distinctes à la surface, le plan MM' M" tend vers le plan tangent, car sa position limite contient deux tangentes à la surface. Mais si les points M' et M" tendent vers M en suivant tous deux une même courbe tracée sur la surface par M, le plan MM' M" tend vers le plan oscula'teur à cette courbe et non vers le plan tangent à la surface.
228. Position d'une surface par rapport au plan tangent dans le voisinage du point de contact. — l^renons, sur une surface
35o ciiAi>iTiiE xri.
un point déterminé A de coordonnées a, b, c :
ayant pour projection O' sur le plan des xy; appelons/» et q les valeurs des dérivées -y- et -j- en ce point, /•, s et t les valeurs des
dérivées secondes -r— > -; — :— et -r-ii ^ii même point, boient M un ()x^ <)x Oy ()y^ "^
point de la surface, voisin du point A, P sa projection sur le plan des xy] pour étudier la surface dans le voisinage du point A, transportons l'origine au point O', projection du point A sur le plan xOj', et prenons de nouveaux axes O' x' y' z' parallèles aux anciens {fig. 120). Nous aurons
x = a + x', y = b-hy,
et l'ordonnée z conservera la même valeur.
Les quantités x' et y' sont les coordonnées du point P par rapport aux axes O' x' , O' y' . La valeur de z en fonction de x et ]'
devient
ou, en développant par la formule de Tajlor,
^7) ^ ~ f[a. b) -i- px'-{- qy' ^ (/-a^'^-f- -^sx' y' -^ ty''^) -+-....
L'ordonnée MP rencontre le plan tangent en A en un point M,
Fig. 120.
dont nous appellerons z^ l'ordonnée M, P. Comme le plan tangent en A a pour équation, par rapport aux anciens axes,
FONCTIONS DK DKUX VAUIABLKS. o6l
et que les coordonnées du point P sont
l'ordonnée ^i du plan tangent est
Zi= c +-px' -^ q y.
La quantité c étant égale iif{a^ 6), on voit que l'ordonnée Zi du plan tangent s'obtient en s'arrêtant aux termes du premier degré inclus, dans le développement de l'ordonnée z d'un point M de la surface suivant les puissances de x' et >*'.
Pour voir comment la surface est placée par rapport au plan tangent, faisons la différence z — ^i des coordonnées MP et M, P.
(8) z — zi= -(rx'2+ 2sx'y~+- t.y'^) +. . .,
où les premiers termes non écrits sont du troisième degré en
x' et y.
A chaque position du point V voisine de O' dans le plan x' O' y correspond ainsi une valeur de la différence z — Z\. Si cette différence est positive^ le point M de la surface est au-dessus du plan tangent en A; si elle est iiéf^ative^ il est au-dessous ; si elle est Jiulie, le point M est dans le plan lani>ent^ car il se confond alors avec M,.
Intersection de la surface avec le plan tangent. — Pour obtenir la projection horizontale de l'intersection de la surface avec le plan tangent en A, il suffit de chercher le lieu des points P(.7;', r) tels que la valeur correspondante de c — z^ soit nulle :
La projection de l'intersection sur le plan des ./')'' a donc pour équalion "
les termes non écrits étant au moins du troisième degré en x' et j/'. Cette équation ayant, comme termes de moindre degré, des termes du second degré, représente une courbe ayant un point double
362 CHAPITRK XII.
à l'origine O'. Pour voir quelle est la nature de ce point double écrivons l'équation du faisceau des tangentes à l'origine
(9 his) rx"^-^ -isx'y'-h t y''^ = o.
Cette équation représente deux droites qui peuvent être imaginaires^ ou réelles et distinctes^ ou réelles et confondues. De là trois cas à distinguer :
Premier cas : Soit d'abord rt — s- positif. — L'équation (9 bis) représente alors deux droites imaginaires : la courbe d'intersection de la surface avec le plan tangent en A présente donc en projection un point isolé en O'; elle a, dans l'espace, un point isolé en A. Dans ce cas, le plan tangent n'a donc, dans le voisinage immédiat du point A, d'autre point commun avec la surface que le point de contact A lui-même.
Si le point P(.t', r') se déplace dans le voisinage immédiat du point O', par exemple en tournant autour du point O', la différence z — 3, ne s'annule pas, puisque la projection de la courbe d'intersection n'a aucune branche réelle passant par le point C; cette différence conserve donc un signe constant et la surface est, dans le voisinage immédiat du point A, d\in même côté du plan tangent.
Pour se rendre compte du signe constant de z — ^ ^,, il suffit de remarquer que, x' et r' étant très petits, le signe de z — g, est le même que le signe du groupe des termes de moindre degré
. rx'^'-\- isx'r'-\-ty'^ ;
ces termes forment un trinôme en x' ^ dont les racines sont imagi naires, car rt — .v^ >> o ; ce trinôme est constamment du signe de et aussi du signe .de t, car r et t ont nécessairement le même signe. Si donc /• > o, z — Zt est positif sm voisinage de O', et la surface es!, aux environs du point A, au-dessus du plan tangent; si r << o, z — z-i est négatif; la surface est, aux environs du point A, au-dessous du plan tangent.
On dit, dans ce cas, que la surface possède, au point A, une courbure totale positive., ou encore qu'elle est convexe en ce point.
Exemples. - Par exemple, un ellipsoïde, un hjperboloïde à deux nappes, un paraboloïde elliptique sont des surfaces connexes en chacun de leurs points. Un tore est convexe en tous les points de la partie engendrée par la moitié de la circonférence génératrice (^fig- \i\) opposée à l'axe. Quand une surface est convexe, en un point A, si Ton mène un plan P' parallèle au plan tangent en A à une distance très petite du plan tangent du côté où se
trouve la surface au voisinage de A, ce plan coupe la surface suivant une [)etite courbe fermée. C'est ce qu'on voit sur la tigure 121 qui représente un tore, le point A étant pris sur la partie convexe du tore. Un plan [)arallèle au |)lan tangent, très voisin de ce plan et placé de Fautre coté, ne coupe pas la surface au voisinage de A.
Deuxième cas : Sup|)Osons rt — s- négatif. — Dans ce cas, la projection horizontale (()), de la courbe d'intersection du plan tangent avec la surface, présente en O' un point double où se croisent deux branches dont les tangentes O'E et OŒ' sont données par l'équation (9 bis) {\o'\v fig. 122). Dans l'espace, le plan tangent coupe la surface suivant une courbe ayant, au point de contact A, un point douille où se croisent deux branches dont les tangentes AD et AD' ont pour projections horizontales O'E et O'E'; ces deux tangentes AD et AD' s'a])pellent les directions asymptotiques de la surface au point A.
En projection horizontale, les deux branches de la courbe d'intersection passant par O' déterminent quatre angles curvilignes I, 11, m, IV. Quand le point V{x\y') se déplace au voisinage de O', la différence z — z^ garde un signe constant, tant qu'elle ne s'annule pas, c'est-à dire tant que le point P ne [Kisse pas d'un de ces angles dans l'angle voisin, en traversant une
des branches de la courbe. Cette différence change de signe, au contraire, chaque fois que le point P traverse une des branches. Supposons par exemple que, le point P se trouvant dans la
Fiî
région I, z — ::, soit positive (région hachurée); alors, dans II, z — ^1 sera négative; dans III, elle sera positive (région hachurée); dans IV , négative. La partie de la surface qui se projette horizontalement en I et III est au-dessus du plan tangent; celle qui se projette en II et IV au-dessous. La surface traverse le plan aux [)oints qui se projettent sur la courbe.
On dit, dans ce cas, que la surface possède en A une courbure totale négative.
Un plan parallèle au plan tangent, ])lacé très [)rès de ce plan, d^ un côté ou de r autre, coupe toujours la surface.
Exemples. — Par exemple, un liyperboloïde à une nappe, un
Fio;. .23.
Fil
paraboloïde hyperbolique sont des surfac-es dont la courl)ure totale est négative en chaque point. Le plan tangent à un paraboloïde
FONCTIONS Dli DEUX VARIABLES. 3L)')
hyperbolique eu un point A le cou])e suivant deux droites AD et AD' {fig. 123).
Un tore est à courbure totale négative, en tous les points de la partie de surface engendrée par la moitié de la circonférence génératrice {fig. 124) tournée vers l'axe. Le plan tangent P, en un de ces points A, coupe le tore suivant une courbe ayant un point double en A. Si Fou mène les tangentes AD et AD' au point double A, on obtient des directions asjmptotiques au point A.
Tiioisiî'ME CAS : Supposons enfin rt — s- nul. — Dans ce cas, le plan tangent en A coupe la surface suivant une courbe, dont la projection a pour équation
o = rx"^-i- isx' y' -\- ty'^
Actuellement, cette courbe possède en O' un point double à tangentes confondues en une seule O'E {fig. 1 25), car l'équa-
tion (9 bis) représente deux droites confondues. Le plan tangent en A coupe donc la surface suivant une courbe ayant en A un point de rebroussement de tangente AD, ou, plus généralement, un point singulier où deux branches de courbe sont tangentes entre elles et à la droite AD. Les deux directions asymptotiques, au point A, sont alors confondues avec cette droite AD.
Le signe de z — z^ serif positif ou négatif suivant que le poinl V{x' ^ y') sera dans l'une ou l'autre des régions délimitées par la courbe (9), projection de Fintersection de la surface el du plan tangent.
On dit alors que la surface a une courbure totale nulle au poinl A.
366 CilAPITRK XII.
Exemples. — IJans une surface conique ou cylindrique, la courbure totale est nulle en chaque point A; en elFet, le plan tangent à une de ces surfaces en un point A, étant tangent tout le long de la génératrice AD du point A, coupe la surface suivant deux droites confondues avec AD. Cette droite est la directi(Mi asymptolique en A. Ainsi la quantité rt — a- est nulle en tous les points d'une surface conique ou cylindrique. Nous verrons pins tard qne cette propriété est caractéristique des surfaces développahles.
Dans un tore, le plan tangent perpendiculaire à l'axe touche la surface tout le long d'un cercle C. En un point A de ce cercle, la courbure totale est nulle : le plan tangent en V coupe la surface suivant deux circonférences confondues avec C, c'est-à-dire deux courbes tangentes en A. La tangente AD à ce cercle C est la direction asjmptotique en A. Le cercle G et son symétrique j^ar rapport au plan de l'équateur du tore partagent la surface en deux parties. Sur la première partie, qui est opposée à Taxe, la courbure lotale est positive; cette partie est marquée {ftg- 126) sur la ligure par
Fi g. 12G.
des -|-. Sur la deuxième partie, qui esl lournée vers Taxe, la courbure totale est négative; cette partie esl uiarquée sur la figure [)ar les signes — . Le cercle C est marqué par (l(^s o.
