RÉGLÉES

229. Formules générales. - Considérons une droite mobile ayant pour équations

< G) X =^ az -^ h ^ y = ùz -^ A,

où les coefficients a, ^, A, A" sont des fonctions continues d'un

paramètre a :

b=/,(u), k=r^,(li).

Quand u varie, cette droite engendre une surface réglée. Les droites G sont les génératrices de la surface. Soit AB une position de la génératrice, nous nous proposons d'étudier les variations du plan tangent à la surface en un point M qui se déplace sur cette génératrice.

Considérons la section C de la surface par un plan P parallèle au plan des xy et menons la tangente M^ à cette section au point M où le plan V rencontre la génératrice AB {fig- i^n).

Fig. 127.

Le plan tangent en M, devant contenir les tangentes à toutes les courbes passant par M sur la surface, contient les deux droites M^ et MA : c'est le plan ^MA. Ce plan a pour trace sur le plan des xy la droite A/' parallèle à M^. Le long de la courbe C, z est constant : les coordonnées d'un point de celte courbe sont donc exprimées en fonctions de u par les formules

où z est constant; et le coefficient angulaire m de la tangente M^ à cette courbe est

dy z db -h dk dx z da -\- dli

(jette même quantité m est le coefficient angulaire de la trace A^' du plan tangent en M sur le plan des xy.

Quand le point M se déplace le long de la génératrice AB, // garde une valeur constante, ainsi que da^ db^ dh et dk., tandis

368 CHAPITRE Xll.

que c ^alie de — oo à +00. On voit que m varie avee g toujours dans le même sens et prend une fois, et une seule fois, toutes les valeurs possibles de — 00 et -+ ce. Gela résulte de ce que

dm da dk — db dli

dz {zda-\- dh f

ronserve un signe constant quel que soit z.

Le plan tangenl, quand le point M décrit la génératrice AB, d'un bout à l'autre, tourne donc toujours dans le même sens autour de AB et prend une fois, et une seule fois, toutes les positions possibles.

Cas excepïionnkl. — 11 peut arriver exceptionnellement que m soit indépendant de z. l?our qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit qu'on ait

( i ) da dk — db dh — o.

Dans ce cas, le plan langent est le même en tous les points de la génératrice AB.

2«Î0. Classification des surfaces réglées : surfaces gauches et surfaces développables. — Lorsque la condition (i) est remplie pour toutes les génératrices d'une surface réglée, c'est-à-dire est remplie quel que soit u^ on dit, comme nous l'avons déjà indiqué (n*^ 184), que la surface est développable ; les génératrices ont alors une enveloppe, appelée arc te de rcbroussement.

Si, au contraire, cette condition n'est pas remplie, quel que soit II, on dit que la surface réglée est gauche; les génératrices n'ont pas d'enveloppe.

D'après cela, une surface développable est caractérisée par ce fait que le plan tangent est le même tout le long de chaque génératrice, comme pour un cône ou un cylindre : nous avons vu que ce plan tangenl coïncide avec le plan osculateur à l'arête de rcbroussement (n° 186). Pour une surface gauche, au contraire, le plan tangent varie quand le point de contact se déplace le long d'une génératrice, il peut exister sur la surface gauche des génératrices particulières pour lesquelles la condition (i) est vérifiée, mais ce sont des génératrices exceptionnelles.

FONCTIONS DE DiaX VAHIABI.KS. 36(J

Par exemple, la droite