U'-^ U'* II

engendre, quand u varie, une surfaee développable, ear on a

donc

da dk — db dh = o

identiquement : la droite a une enveloppe. Au contraire, la droite

,r = u'^ z -f- u, y = uz -h u

engendre une surface gauche, car

a = a'-^ b = u^ h = u, k = u ; donc

da dk — db dh ={-}.u — i ) du-,

expression qui n'est pas nulle quel que soit u : la droite n'a pas d'enveloppe. La généi^atrice u =^ - est une génératrice exceptionnelle de la surface, le long de laquelle le plan tangent est le même. Parmi les surfaces du deuxième ordre, le paraboloïde lijperbolique et l'iijperboloïde à ifne nappe sont des surfaces réglées gauches.

Remarque. — Les surfaces développables ont en tous leurs points leur courbure totale nulle [rt — a- = o), car le plan tangent en chacun de leurs points coupe la surface suivant deux droites confondues avec la génératrice de contact, comme dans les cônes et les cylindres.

Les surfaces réglées gauches ont, au contraire, en chac^in de leurs points leur courbure totale négative (^l't — s- <" o), comme il arrive pour l'hjperboloïde à une. nappe.

IV. — MAXIMUM OU MINIMUM D'UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES INDÉPENDANTES.

23L Recherche du maximum ou du minimum. — Soit

Appkll. — Éléments d'Aiiali/sc. — st. 2'i

une fonction des deux variables indépendantes ^ et )', on dit que cette fonction est maximum pour x=^a^y^=-b^ quand, pour toutes les valeurs de x et de y voisines de a et h respectivement , on a

De même la fonction est minimum pour x := a, y = />, quand, pou/- toutes les valeurs de x et y voisines de a et b, on a

f(x,y)<fia,b).

Cherchons les conditions du maximum.

Pour donner à x et )' des valeurs voisines de a et />, nous

poserons

où x' et r' sont assujettis à rester voisi/is de zéro. On doit avoir

alors

pour toutes les valeurs de x' , y' voisines de zéro. Dé\eloppons le premier membre par la formule de Tajlor, en appelant /;, q., r, 5, t les valeurs que prennent, pour x = a^ y = b, les dérivées paitielles premières et deuxièmes de f(x^ y). Nous avons

(i) fia + x', b -+-y') -f(a, b)

= /) .r'n- gy' h — {rx'- -h isx' y -^ ty'-) -i- . . ..

Pour qu'il v ait un maximum, quand x ±= a. y =^ b, il faut et il suffit que cette différence (i) soit négative pour toutes les valeurs de x' et r voisines de zéro et qu'elle s'annule seulement pour x' = o, )-' = o. Pour plus de symétrie, posons

x' = p cosç, y =z p sinç,

cp étant un angle quelconque et p une quantité positive ou négative.' assujettie à rester très petite en valeur absolue. La dilFérence (i) prend alors la forme

(2) p (/? cosç -h ^ sin cp)

H — p-{rcos- o H- -j.s cosç sin cp -1- Isin^ç)-^ p^( . . .).

Pour qu'elle puisse conserver un signe constant pour toutes les valeurs de p voisines de zéro, et pour toutes les valeurs de cp, il faut que p el q soient nuls. Car, si p et q n'étaient pas nuls tous deux, p C0SC5 -(- q sincp ne serait pas nul, puisque cp est quelconque^ et, pour de petites valeurs de p, le terme du premier degré en p donnerait son signe à l'expression ( 2 ) ; cette expression changerait donc de signe avec p.

Ainsi p el q doivent être nuls. Supposons cette condition remplie et admettons que /', 5, t ne soient pas tous nuls, nous voyons qu'alors la différence (2) se met sous la forme

— p2(^/- cos^ç -h 2^ sin© coscp H- if sin^ç) -+- p^ (. . .),

dans laquelle le terme en p- donne son signe pour les petites valeurs

de p. Pour qu'il j ait maximum pour ^ = a, y = 6, il faut que le

trinôme

/•cos"2o -{- '2 5sincp coso + ifsin^cp

soit négatif pour toutes les valeurs de (Jj qui ne l'annulent pas. Il

faut donc, en général, que le trinôme ait ses racines imaginaires

ou égales et que son premier terme soit négatif.

Laissons de côté le cas des racines égales qui est un cas douteux.

Alors il faut

rt — «2^0,

avec

ces deux dernières conditions s'entraînent' évidemment l'une Tautre, car rt est positif. Les conditions ainsi trouvées

(Max.) p = o, q — o^ rt — s^ > o, r < o ou ^ < o,

comme nécessaires, sont évidemment suffisantes pour Fexistence d'un maximum, car si elles sont remplies la différence

f{a-hx\ b -h y') —/{a, b)

est négative pour toutes les valeurs de x' et •)' voisines de zéro. On trouve de même que les conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence d'un minimum sont

(Min.) p = <ày g = o, rt — s'^ > o, /- > o ou t > o.

372 CHAPITHK XII.