Remarque sur le cas rt — s-^=o. — Lorsque, pour x=^a

y =^ h, on ix

p — o, q — o, rt ^ S' = o,

sans que /', s, t soient nuls tous trois, nous avons dit qu'il y a doute. Gela tient à ce que, dans l'expression de la différence

f{a-\-x\b+y')-f{a,b), le tnnomc

rcos-cp 4- '2S coscp sino + ^sin^tp

est alors un carré parfait. Ce trinôme conserve donc un signe constant, excepté pour la valeur o,, de o qui l'annule. Si donc l'on attribue à C5 cette valeur spéciale, le signe de la différence dépend des termes suivants du développement, termes qu'il faudra étudier dans chaque cas particulier.

Exemple I. — Prenons, par exemple, la fonction

f{x,y) = i + {x —yy- ■+- (7 — i)^

Actuellement,

Donc p el q s'annulent pour :r = i , r = i ; la valeur correspondante de la fonction est

De plus, en ce point ^ =i i , y =: i ,

rt — s- = o, /• > o.

»Nous allons ^oir que la fonction n'est pas minimum. Pour l'étudier dans le voisinage des valeurs i et i, employons la méthode

généi'iilc ; faisons

a7' = ccoscp, j^' = psincp.

ENVELOPPKS DES SURFACES. B'S

Nous avons

f{\-\-x\ I +jr ')—/('} 0 = (^' ~ y')'-^ y^ = p'(cosç — sinç)^ H- p^sin^cp.

Tant que es n'a pas une valeur parliculière telle que

cosç — sin9 = o, tangcp = T,

la difFércnee est positive, pour de petites valeurs de p, car le [)remier terme donne son signe. Mais, pour tangcp^i, la différence prend le signe du terme p=' sin'^cp : elle change de signe avec p et, par suite, ne conserve plus un signe constant.

Donc, dans le voisinage de j^ = i , )' = i , la différence

ne conserve pas un signe constant quel que soit o pour de petites valeurs de p : il n'y a ni maximum ni minimum en ce point.

Exemple H. — Prenons, comme deuxième exemple, la fonction

Nous \ errons, de même, qu'au point x =^ \ , )' = i , on a

y? = o, cj =z o^ ri — 5- = o,

Pour ('tudier ki fonction au voisinage de ce point, faisons

,07 = 1 -t- p coso, j' = I -h psin cp ; nous a\ ons

/(i H- .r', I -(- jr'j — fil, I ) = p''(cosQ — sin cp)'- -+- p^sin'^cp.

Pour de petites valeurs de p, cette différence a le signe du terme en p- lant que tangcp est différent de i, c'est-à-dire le signe +.

J?our tangcp = i, elle a le signe du terme o'* sin'*cD, c'est-à-dire + encore. Donc cette différence est constamment positive: la fonction est minimum pour a? ^ i , v = i .