V. ENVELOPPE D'UNE FAMILLE DE SURFACES DÉPENDANT D'UN PARAMÈTRE

23o. Équation de l'enveloppe; caractéristiques; arête de rebroussement. — Soit

réquatioii d'une surface S contenani un paramètre variable A. On peut se proposer de chercher une surface E à laquelle chacune des surfaces S soit tangente tout le long d'une courbe G.

Cette surface E, quand elle existe, est Venveloppe des surfaces S ; les surfaces S sont les enveloppées et la courbe G, suivant laquelle chaque surface S touche l'enveloppe E, est la caractéristique de la surface S.

On démontre, par une méthode analogue à celle que nous avons suivie au n^ 149 pour l'enveloppe d'une famille de courbes dans un plan, les théorèmes suivants :

*S'/ les surfaces S ont une enveloppe E, la courbe caractéristique^ suivant laquelle chaque surface S touche V enveloppe ^ est définie par les deux équations

(G). ¥{x,y,zfK) = o, F>;=o.

U enveloppe est le lieu géométrique de ces courbes G : on obtient son équation en éliminant K entre les deux équations (G).

Dans tous les cas^ l\équation résultant de cette élimination représente^ ou V enveloppe des surfaces S^ ou le lieu de leurs points singuliers.

La caractéristique G, suivant laquelle une surface S touche V enveloppe^ est la limite de la courbe d^ intersection de la surface S, avec la suif ace infiniment voisine S, obtenue en faisant varier infiniment peu le paramètre A.

Nous nous contenterons d'énoncer ces tliéorèmes; mais il est important de faire la remarque suivante :

Quand le paramètre A varie, les courbes caractéristicjues G ont une enveloppe A : cette enveloppe s'appelle V arête de rebroussement de la surface enveloppe.

Les caractéristiques sont des courbes de l'espace définies par les deux équations simultanées :

•' F(^, r^ ^, >0==o, Fi = 0.

Pour montrer qu'elles ont une enveloppe, il faut montrer que