ENVELOPPES DES SURFACES

le système de quatre équalioiis obtenu en assoeiant aux deux précédentes les équations dérivées par rapport à A :

F>' = o, F)" = o, se réduit à trois.

Or cela est évident, car ces équations se réduisent aux trois suivantes :

Ces équations déterminent x^ )', z en fonction de A. Lorsque A varie, le point ainsi déterminé décrit Tenveloppe des caractéristiques, c'est-à-dire l'arête de rebrousse ment A de la surface enveloppe. Il peut arriver que les valeurs de x, )', z tirées des équations (A) soient imaginaires : Taréte de rebroussement n'existe pas dans ce cas.

236. Exemple. — Enveloppe cV un plan mobile à un paramètre : surfaces développables. - Soit

(1) \xr^\\y-v-Cz-hï) = o

l'équation d'un plan mobile, dont les coefficients A. B, C, D sont fonctions d'un paramètre \. Cherchons l'enveloppe 'de ce plan.

D'abord, pour avoir la caractéristique suivant laquelle le plan touche son enveloppe, il faut joindre, à l'équation du plan, l'équation dérivée par rapport à A :

A', B', G', D' désignant les dérivées des coefticicnts par rapport

La caractéristique est donc une droite. L'enveloppe est le lieu •de ces caractéristiques; c'est donc une surface réglée. Cette surface est développal)le, car le plan mobile touchant son enveloppe tout le long de la caractéristique, le plan tangent à la surface réglée est le même tout le long de la génératrice. Enfin les caractéristiques'(génératrices rectilignes delà surface) ont une enveloppe A, dont les points sont définis par les trois équations

/ A a7-hBj--i-G z -\-\) = 0, <A) ) A'iP-f-B> + G'5-+-D' = o,

( M'x -f- \Vy -+- C'z -I- D" = o,

OÙ les dérivées secondes des coefficients par rapport à X sont désignées par deux accents. Ces équations déterminent .r, r, ^ en fonction de X, et, quand A varie, le point ainsi défini décrit l'enveloppe des génératrices de la surface dévcloppable, c'està-dire l'arête de rebroussement de la surface.

INous avons vu que le plan tangent à une surface dévcloppable est le plan osculateur à l'arête de reljroussement de la surface; actuellement, le plan donné

Acr H- By + Cz + D = o

est donc le plan osculateur à Farêle de rebroussement définie par les trois relations (A).

En résumé, on voit qu'un plan mobile, à un paramètre, enveloppe une surface dévcloppable, et que ce plan est osculateur à l'arête de rel)roussement de la surface.

Réciproquement, toute surface dévcloppable peut être considérée comme l'enveloppe d'un plan mobile à un paramètre : en effet, elle est l'enNcloppe de son plan tangent, c'est-à-dire du plan osculateur à son arête de rebroussement.

On peut également présenter ce résultat en disant que l'enveloppe du plan osculateur d'une courbe gauche est la surface

Fig. 129.

dévcloppable engendrée par les tangentes à cette courbe : la caractéristique du plan osculateur à une courbe (intersection d'un plan osculateur avec un plan osculateur infiniment voisin) est donc la tangente à la courbe. On se rappellera ce fait par le procédé mnénu)nique suivant : le plan osculateur en M à une courbe gauche est le plan du point M et de deux points infiniment voisins M, et M'; le plan osculateur en M' est le plan du point M' et de deux points infiniment voisins M et M". L'intersection de ces deux plans est la corde MM' joignant deux points infiniment voisins^ c'est-à-dire la tangente à la courbe en M.