ENVELOPPES DES SURFACES
237. Exemple de Penveloppe d'un plan à un paramètre. — Soit à trouver reiiveloppc du plan
La caractéristique s'obtient en associant à cette équation l'équation dérivée
l^our avoir l'enveloppe, il faudrait éliminer X entre ces équations (3) et (4 ). On aurait ainsi une surface développable.
L'arête de rebroussement A de la surface 's'obtient en associant aux équations (3) et (4) la nouvelle équation dérivée
( 5 ) - — iî + X = o.
Les trois équations (3), (4) et (^5) donnent les coordonnées d'un point de l'arête de rebroussement; en les résolvant, on a
(A) ^ = ~' -^""lî"' ^""
l^e plan mobile est alors le plan osculateur à cette courbe : c'est ce qu'on vérillera en se reportant au calcul n*^ 182.
La caractéristique définie par les équations (.3) et (4) ^st la tan-, iiente à la courbe A.
238. Autre exemple. — Enveloppe cV une sphère de rayon constant dont le centre décrit une courbe donnée. — Soient a, 6, c les coordonnées du centre M de la splière : ce point décrivant une courbe donnée F, ses coordonnées sont fonctions d'un paramètre u :
L'équation d<; la sphère mobile est donc
Pour avoir la cour]>e caractéristique suivant laquelle cette sphère toucluî son eu\el()p[>e, il faut associer à cette équation l'équation
38o - CHAPITRE XII.
dérix ('(' par rapport au paramètre a :
(6) \oo-f{u)]f'{ii^-^\y-^^{u)\o'{ii) + \z—^^{u)]'^\ii),= o.
Si l'on re^^arde x^ y, z comme des coordonnées courantes, celle équation représente un plan passant par le point M (a, 6, c) de la courbe F èl perpendiculaire à la tangente M^ à cette courbe, car les cosinus directeurs de cette tangente sont proportionnels à f'[u)^ ^'{u), '^J {u) {Jig. i3o).
La caractéristique de la sphère S est donc à rinlersection de cette sphère avec le plan normal à la courbe T, au point M, centre
l'ig. i3().-
de la sphère : on peut dire que celte caractéristique est le cercle obtenu en portant sur les normales à la courbe 1\ au point M, des longueurs constantes égales à R. J^'enveloj)pe est le lieu de ces caractéristiques, c'est-à-dire le lieu obtenu en porlanl sur toutes les normales à la courbe Y des longueurs constantes égales à R : ces normales sont aussi les normales à la surface enveloppe.
La surface enveloppe ainsi obtenue est une surface canal. Par exemple, si la ligne F est une ligne droite, la surface canal de\ienl un cylindre de révolution autour de celle droite : les caractéristiques sont les parallèles du cy.Hndre.
Dans le cas général, les caracLéristiques ont une enveloppe arête de rebroiissemeni de la surface canal, uiais celle enveloppe peut être imaginaire, quand Pt est suffisamment petit.
