Équation de l'enveloppe. — Soit

F (a-, 7, .-. X, ;j.) = o Téquation dune surface mobile S, contenant deux paramètres

HNVKLOPPItS DKS SURFACKS. 38 l

\ariables X et a. On peut chercher à déterminer une surface E à laquelle toutes les surfaces S sont tangentes. Nous nous l)ornerons à énoncer les résultats suivants, analo<j;ues à ceux qu'on a déuion- Irés pour Fenveloppe des courbes. Si la surface enveloppe existe^ on obtient son équation en éliminant X et u. entre les trois équations

(') F(.r, jK, ^, )., |J.) = o, -Jx""^' ^""°'

Chacune des surfaces S touche^ actuellement^ son em^eloppe en des points isolés définis par C ensemble des équations (i).

// peut se faire que l^ élimination de X et a entre les trois équations (i) donne soit une enveloppe^ soit un lieu de points singuliers des surfaces mobiles.

Exemple I. — Cherchons l'euN eloppe du plan

\x -+- ixy + 2 H- A [JL = o.

Le point de contact du plan avec l'enveloppe s'obtient en associant à cette équation les deux équations dérivées par rapport à À

et |ji :

rr H- [j. = o, j -1- X = o.

L'enveloppe s'obtient en éliminant \ et ^ entre les trois équations, ce qui donne le paraboloïde

z — xy = o.

Exemple IL — Enveloppe d^une sphère de rayon constant S, dont le centre décrit une surface fixe donnée. — Soient a, 6, c les coordonnées du centre de la sphère,

l'équation de la surface ^ que décrit ce point. L'équation de la sphère mobile est

(S) {x- ay ^{y-by~-\z -~f{a, b)y - K^ = o,

avec deux paramètres a et b. Pour avoir les points de contact de la sphère S avec son enveloppe, il faut associer à l'équation (S) les deux équations dérivées par rapport à a et à b.

Ces deux équations séi rivent comme il suit, en désienanl par n

^ A- ■ ■ n àf àf " ' '

€t q les dérivées partielles ; et -7-:

(2) ;r— a+/>[5— /(rt, /^)] =0, y—h^q\z-f{a,h)\=o.

\ oici comment on peut interpréter géométriquement ces équations : si Ton regarde x^ i% g comme des coordonnées courantes, ces deux équations représentent la normale à la surface S, au point G(a, />, c). En effet, les équalicnis de la normale à cette

surface sont

en j remplaçant c par /(a, h) et chassant les dénominateurs, on obtient les deux équations (?. ).

Ainsi, la sphère touche son enveloppe en deux points M et M',

Fi-. i3i.

situés à rintersection de la sphère avec le diamètre normal à la surface S (yi^. i3i).

On peut dire aussi qu'on obtient l'enveloppe, en portant sur les normales aux divers points C de la surface i] des longueurs CM =r. CM' = R. La surface enveloppe, lieu des points M et M', s'appelle surf ace parallèle à S : cette dénomination tient à ce que les plans tangents en M et M' à la surface enveloppe, étant tangents à la sphère, sont parallèles au plan tangent en C à S, parce que ces trois plans sont perpendiculaires au diamètre MCM'.

VII. — COURBURE DES COURBES TRACEES PAR UN POINT DONNÉ SUR UNE SURFACE.

240. Formules générales. — Soit une surface ayant pour équation

Désignons par /?, q^ /*, s, t les dérivées partielles premières et secondes de z par rapport à x et y.

Prenons sur cette surface un point A et considérons une courbe AM tracée par ce point sur la surface. xVppelons .s, Tare de cette

Fi-. i32.

courbe compté à partir d'un point déterminé de la courbe; a, p, y les cosinus directeurs de la tangente AB; a', Jii', y' ceux de la normale principale AN' à cette courbe; enfin R, le rayon de courbure de cette courbe en A. Le centre de courbure en A est alors un point C, de AN' tel cpie

ACi = R,.

T.e long de cette courbe on peut regarder les coordonnées d'un pointer, r, z comme fonctions de 6,, et l'on a, d'après les formules de Frenet,

/ dx ^IL - R '^^

ds, - '^'

ds^ d%

dsx

dj ^ Y dsi H,

Mais, comme la courbe est sur la surface donnée, ces fonctions X, )', ;3 de 5, vérifient identiquement l'équation

Différentions les deux membrc^s par rapport à.ç,, nous aurons

dz àf d.T àf dy dsi dx dsi dy ds^

Cette relation a d'ailleurs une signification géométrique évidente ; elle exprime que la tangente AB est située dans le plan tangent en A à la surface.

Dans cetlc (''(jualion (2), y, a, [j soul fonctions de .v,, le long de la eourl^e. D'ailleurs p et </ sont des fonctions de x et )' qui dépendent également de .v, le long de la courbe. On a donc, en dérivant par rapport à 5),

<:/y (I'J. d?j dp , dq

dsx ^/.Vi <^5i ds

fl'/j (^/> dx dp dy

d.si ôx dsx ùy ds^

dq dq dx ôq dy

d.si Ox dsi ùy dsi

ou encore, d'après les notations adoptées pour les dérivées par-

lielles,

dp ^ dq

dsi ^ dsi ' *

Portant ces expressions dans la formule (3), et tenant compte des formules de Freiiet (i), on a

et, en résolvant par rapport à R,,

'2i-a[il 4- t[y^

Dans cette formule, les valeurs numériques de yj, ^y, /*, 5, t dépendent seulement des coordonnées x et }', c'est-à-dire du choix du point A sur la surface, et non de la courbe particulière AM tracée par ce point sur la surface. Les quantités a, [3, y sont (connues quand on connaît la tangente à la courbe et a', p\ v', quand on connaît sa normale principale.

2il. Théorème I. — Si, par un point d'une surface^ on trace une courbe quelconque, le rayon de courbure de cette courbe, en ce point, est égal à celui de la section plane de la surface par le plan osculateur à la courbe.

En effet, d'après la formule (j), une fois le point A choisi, R, ne dépend que de a, [i, y, a', [ii', y' : R, est donc le même pour

COUHBLUh; DKS LIGNES TUACKKS SLR LNK SL'IlFACK. iS'y

toutes les courbes passant par A, pour lesquelles ces six quantités sont les mêmes. En particnlier, si l'on considère la section de la surface par le plan osculateur en A à la courbe AM, cette section |)lane est une courbe tracée sur la surface, ayant en A même tangente et même normale principale que la courbe AM. Elle a donc même rayon de courbLire Rj.

Ce théorème ramène l'étude tles rayons de courbLire en A des courbes passant par A, sur la surface, à l'étude des rayons de courbure des sections planes.

NoLis allons établir maintenant un deuxième théorème, appelé Théorème de Meusnier ^ qui ramène l'étude des rayons de courbure en A des sections planes passant par A, à l'étude des rayons de courbLire des sections normales.

24!2. Théorème II. -^ Considérons une tangente AB à une surface en A, et une section de la surface par un plan BAN' passant par cette tangente {fig- i33) : soit AN' la normale principale à cette section, c'est-à-dire la normale située dans le plan de la section; désignons par G| le centre de courbure de cette section. D'autre part, menons en A la normale AN à la surface et considérons le plan BAN; ce plan, passant par la normale à la SLirface, détermine dans la surface une section plane qu'on appelle Line section normale. Soit C le centre de courbure de la section normale, point qui est situé sur la normale à la surface. On a alors le théorème :

Théorîîme de Meusmeii. — Le centre de courbure G, d'une section oblicjue est la projection^ sur le plan de cette section ^ du centre de courbure C de la section normale correspondante.

PoLir démontrer ce théorème, reprenons les équations de la normale en A

Choisissons arbitrairement, sur cette normale, un sens positif. Pour fixer les idées, nous pr<3ndrons comme sens positif la demidroite AN ayant pour cosinus directeurs

\/i-^p'^-hq^ \^i-^p-^q'^

Appki.l. — rlcmcnts d'Analyse. — st.

le radical clant pris positivement. Appelons 9 Tangie de la direction Aïs, ainsi définie, avec la normale priiK'ipale AÎN' à la section oblique. L'angle 8 est aussi Fangle dièdre des deux plans BAIN et BATS de la section droite et de la section oblique. 11 est donné par la formule

cosO = A a'

bie

cosO

En remplaçant, dans la formule (f), y' — /> a' — ^ ^3' par sa valeur tirée de la relation ci-dessus, on a

cosO.

L'angle 8 peut être aigu ou obtus, le dénominateur

peut être positif ou négatif; mais, comme R, est positif, cos8 a le même signe que ra--|- 'îsy.^j -|- /[i-.

i'* Supposons /-a--!- 2 5a^3-|- i^3-> o : alors 9 ifrg- i>3, 1) est aigu. Quand on fait diminuer 9, c'est-à-dire quand on fait tourner

Fig. i33.

le plan sécant autour de la tangente AB, de façon à It^ i-approclicr de la section normale, R, augmente, et, pour 9 = o, le rajon d(.' courbure prend la valeur

Le centre de courbure de la section norm;il<' s'dljticnt en portant

sur AN urne longueur AC -= R. La comparaison des formules (5)

et (6 ) donne

R,= RcosO.

Cette relation démontre le théorème, car elle montre cjue AG, est la projection de AC sur AN'.

2."^ Supposons •/•a-4- •>. 5 7.^3 "4- ^ P""C' <> * alors cosG est négatif, h est obtus (flg. i33, II).

Si Ton fait tourner le plan de la section oblicjue BAN' autour de BA, en faisant croître 8, on voit que, pour B = tt, le plan de la section oblique coïncide avec celui de la section normale, et la normale principale AN' de la section oblique vient coïncider avec le prolongement de AN au delà du point A. Le j-ajon R, donné par la formule (5) tend alors vers

ra^H- isoLf-i -^ t [y^

et le centre de courbure G^ de la section oblicjue tend vers un point C situé sur le prolongement de AN, à une distance AC = R. Dans cette hvpotlièse. la formule (5) donne

Ri^ — RcosO R,= Rcos(7r — 0),

relation qui dém(^ntre le théorème de ^leusnier dans ce cas, puisque, dans le triangle CAC|, l'angle CAC, = ti^ 9. La (h'oite AC, est donc la projection de AC sur AN'.

En r(''sunié. cbms tous les cas, on obtient C, en projetant C sur le plan de la sccliou (d)li(jue.

C'est là Tcxtension, à une surface quelconque, d'un théorème f évident pour la sphère. Soit AB une tangente à la splière en A :

j88 chapitre XII.

une section oblique, passant par AB, coupe la sphère suivant un petit cercle de centre G| ; la section normale, passant par la même tangente, est un grand cercle de centre G ; il est évident que le centre de courbure C| du petit cercle est la projection de G sur le plan de la section oblique {Jig- i34).

243. Convention pour le signe des rayons de courbure des sections normales. — D'après le théorème précédent, il suffit de connaître les centres de courbure des sections normales en A pour connaître les centres de courbure des sections obliques.

Nous sommes donc ramenés à étudier la position des centres de courbure des diverses sections normales en A, c'est-à-dire des sections obtenues en faisant tourner le plan BAN autour de la normale AN.

Nous avons vu que le centre de courbure d'une section normale peut se trouver, soit sur la partie positive AN de la normale à la surface, soit sur le prolongement de AN {fig. i33, I et 11). Dans le premier cas, le rajon de courbure de la section normale est

R = dans le deuxième,

Pour avoir une formule unique dans les deux cas, nous conviendrons de donner un signe au rayon de courbure d'une section normale, en regardant le rajon de courbure comme positif, quand le centre de courbure correspondant G est sur la partie positive AN de la normale, et comme négatif, dans le cas contraire. Avec cette convention, R désignera la valeur algébrique du segment AG estimé positivement dans le sens AN choisi sui- la normale, et cette valeur algébrique R est donnée par la formule unique

Vl-+-/?--H^- .

•a2-+--2sa[3 + ^(ii2'

Dans cette formule, le numérateur est positif; le dénominateur dépend de a, ^ ; il varie quand le plan de la section normale tourne autour de AN, car a, [3, y sont les cosinus directeurs de AB. Le signe de R dépend donc uniquement du signe du dénominateur.

Si rt — S- est positif (surface à courbure totale positive en A), le dénominateur cle R a un signe constant, Cjuels cjue soient a et ji ; toutes les sections normales ont leur centre cle courbure d'un même côté de A. Ce fait peut être prévu, car, dans ce cas, la surface est toute entière d'un même côté du plan tangent en A, et toutes les sections normales tournent leur concavité dans le même sens.

Si ri — 5-<< o (surface à courbure totale négative en A), le trinome du dénominateur est tantôt positif, tantôt négatif; certaines sections normales ont leurs centres de courbure d'un côté de A, d'autres de l'autre côté. Il existe alors deux sections normales particulières, pour lesquelles R est infini : ce, sont les sections normales, passant par les deux directions asjmptoticjues AD et AD', précédemment définies comme les tangentes en A à la courbe d'intersection de la surface par le plan tangent (voir fig. 122).

En effet, pour cjue R soit infini, il faut et il suffit cjue les cosinus directeurs de la tangente AB vérifient la relation

Or - est le coefficient angulaire de la projection de la tangente VR sur le plan ^O ) . Si donc on appelle cp Tangle de cette projection avec O^,

tangcp,

on a, pour déterminer ce, Téquation

^ tang-cp H- 2 5 tangcp + /' = o;

cette équation est précisément celle qui détermine les projections des directions asjmptotiques, au point A (n'^ t228).

Si f't — 5-=o (surface à courbure totale nulle en A), R est toujours de même signe, carie trinôme /'a- + 2 5a[j -|- ^^3- est un carré parfait. Mais R devient infini, pour une direction particulière de la tangente AR, qui est la direction asjmptotic{ue unicpie AD, existant actuellement en A.,

244. Variation du rayon de coiu*bure d'une section normale, en un point d'une surface. Indicatrice. Directions principales. — 11 nous reste à étudier la variation des ravons de courbure des sec-

lions normales, en un point A. Nous allons montrer (jue, pour connaître les rayons de courbure de toutes les sections normales en un point, il suffit de connaître les rayons de courbure de deux sections déterminées, rectangulaires, appelées sections principales.

Pour simplifier cette étude, prenons comme origine le point A, comme plan des xy le plan tangent en A, comme axe des j la normale en A. On a alors, en appelant /?o, *7o7 'o? ^0? '0 ^^^ valeurs des dérivées />, ^, ;•, .•>, / à Torigine,

Po=o, qo^o,

car le plan tangent, en A, coïncide avec xOy. L'équation de la surface étant

si Ton développe z par la formule de Mac-Laurin, le développement commence par les termes du deuxième ordre, car la fonction 3 et ses deux dérivées premières p et q sont nulles à l'origine. On obtient donc le développement

:; = -(/-o^-H- isoj-y -f- toj'^)-'--

Comme nous le savons, le plan tangent, en A, coupe la surface suivant une courbe ayant, en A, un point 'double à tangentes réelles ou imaginaires, suivant la nature de la surface. C'est ce que nous pouvons vérifier. En coupant la surface par le plan z = o, on a la courjje

o = -(roiP-+ 25oa7jK-f- ^07-) + ■

Les termes de moindre degré dans cette équation (''tant du deuxième degré, l'origine A est un point double de riiiterseclion, et les tangentes, en ce point, ont pour équation

Elles sont imaginaires, réelles ou confondues, suivant que ''o'o — -^0 ^"''^ positif, négatif ou nul, c'est-à-dire suivant qu'au ])oint A, la courbure totale est positive, négative ou nulle. Ces deux tangentes AD et AD' donnent ce que nous avons appelé b > directions cisyniptofiques, au point A.

COLRBUIU': DKS LIGXIiS THAClÏES SUR UNE SURFACIÎ. Sg [

Rayon de courbure dune section nornicile. — Considérons la lion normale, faite j)ar nn plan cAB déterminé par la normale Ag t une droite A15, située dans le plan tangent ^ A)'. Si l'on appelle cp l'angle de cette droite avec Aj^, les cosinus directeurs a, jii, y de AB sont ( 8 ) . a == cos 9 , |i = sin tp , v = o.

La val<;ur algébrique R du rayon de courbure, comptée positivement dans le sens A;, est donnée par la formule (7), où l'on fait p =z q = o^ où l'on remplace 7\ 5, t par /•(,, ^o, ^0 <^t- ^-7 P? Y P^i' leurs valeurs (8). On a ainsi

— = /'o cos- 9 -h '^.^o coscp sin 9 + ^0 sin- 9

Si G est le centre de courbure de la section normale considérée, Il est le z du point G, de sorte que G est au-dessus du plan des xy

Fis. i33.

quand R>>o, au-dessous quand ll<;o. En faisant varier :p, on peut étudier, d'une manière sinq^le, la variation de R.

Nous examinerons successivement trois cas, suivant que /'o ^0 — ^l est positif, négatif ou nul.

Premier cas : /\, ^0 — 5^^ > o. — Dans ce cas, ^ conserve un signe constant, quel que soit cp.

Supposons ro>"0 : alors rr est positif, tous les centres de courbure G des sections normales sont au-dessus de A : ce qu'on pouvait prévoir, car., dans ce cas, la surface étant, aux environs de A, au-dessus du plan tangent r Ay, toutes les sections normales tournent leur concavité vers les z positifs. Pour représenter géométriquement la variation du raj on de courbure R, nous porte-

rons {fig. 1^), sur la trace AB de la section normale, une longueur

cette longueur est réelle, quel que soit C2, car R est toujours positif.

T.e lieu du point 1, quand cp varie, est une ellipse de centre A. En cfïet, les coordonnées du point I sont

X = p coscp, Y = p sino,

et l'équation (9), dans laquelle on remplace R par p-, donne

— = Vq cos-cp -h 9.50 cosç sino -4- ^o ^'''"r?

ou, en chassant les dénominateurs,

équation d'une ellipse de centre A. Cotte ellipse étant tracée, pour avoir le rayon de courbure d'une section normale ^AB, il suffit de prendre l'intersection de AB avec l'ellipse en I, le rayon de coui-

bure demandé est Al . Cette ellipse s'appelle V indicatrice relative au point A. Les deux directions d'axes A-' et At:" de cette ellipse s'appellent les clirecl ions principales au point A.

Comme, dans une ellipse, les diamètres maximum ou minimum sont le grand et le petit axe, les sections, ayant pour traces les directions principales, sont celles qui ont le ])lus grand et le plus |)elit rayon de courbure. Les rajons de courl)urc maximum cl minimum, R' et R', correspondant aux directions principales A-' et A-', s'appellent les l'ayons de couihure principaux au point A.

Les centres de courbure C et C des sections principales zKrJ

COURBURK DES LTGNKS TRACKES SUR LNK SURFACE. SgS

et -cAt:" s'appellent les centres de courbure principaux relatifs au point A-.

Nous pouvons encore siiiiplifier les équations, en prenant pour axes A^ et k.y les axes de rindicatrice Atz' et At:'. Alors l'équation de l'indicatrice ne contient plus de rectangle X^ et ^o devient nul. On a donc, avec ce choix d'axes {fig- i3~),

\\= AI

Supposons le grand axe de l'ellipse dirigé suivant Kx : pour C3 = o, R atteint son maximum R' et l'on a

De même, pour o = - , R atteint son minisuim R! et l'on a La formule donnant R s'(''crit alors

- cos'-

Quand le plan de la section normale s AI tourne de zAtJ vers G A-", le centre de la courbure de la section part de C descend d'une manière continue, pour arriver en C, quand AR coïncide avec A-". Ce plan continuant à tourner, R repasse par les mêmes valeurs dans Tordre inverse.

n peut arriver, en particulier, que les deux rayons de courbure principaux en un point A soient égaux : R' = R". L'indicatrice en ce point est alors un cercle. Toutes les sections normales en un

pareil point ont même ravon de courbure. On appelle un point d« cette nature un ombilic de la surface.

Deuxième <.as : /'y^„ — s'I << o.

Reprenons la valeur de -r- :

= /'o cos-c -h -iStj coso sin c -t- t^ sin^ c.

Dans le cas actuel, la surface est à courbure totale négative au point V : le trinôme, qui donne l'expression de —, s'annule pour deux valeurs de tansfo,

tangç = À, tan g 9 = X',

déterminant deux directions AD et AD', qui sont les directions asjmptotiques en A.

Quand la trace AB de la section normale ^AB passe par une des positions AD ou AD', le ravon de courbure R change de signe en passant par l'inlinl. Supposons, pour fixer les idées, que l\ soit positif, lorsque Ai^ est situé dans l'angle DAD', ap])elé 1 sur la figure lOfS, et négatif dans l'angle adjacent appelé 2. Les sections

normales, dont la trace AB est dans Tangle J, ont leur centre de courbure sur A3; celles dont la trace est dans l'angle î2 ont leur centre de courbure au-dessous de A. Cela tient à ce que la portion <le surface, voisine de A, qui se projette sur l'angle l et son opposé au sommet, est au-dessus du plan des .ry, celle (pii se projette sur les angles i2, au-dessous. La surface traverse le plan suivant une courbe tangente, en V, aux droites AD et AD'.

Supposons d'abord la traceVB dans l'angle i , alors R est positif.

COLIUJLRE DKS LIGNES TRACEES SUR LNE SURFACE. 095

Wiiir L'IiiJicr la varialion de R, nous prcudrous encore, sur AB,

une longueur