Courbure totale et courbure moyenne. — On ap])elJe cour

bure totale^ en un point d'une surface, la quantité

Cette quantité est égale à

e'est-à-dire, en remplaçant S'S'^ par le produit des racines d( l'équation (^i^j,

ft — s-

On voit donc que, conformément aux définitions déjà posées, la courbure totale est positive, négative ou nulle, en même temps que rt — ^.v".

Les surfaces, qui sont à courbure totale nulle, en tous leurs points, sont telles qu'en tous leurs points on ait

rt — s^= o.

Nou5 verrons plus tard que ce sont les .surfaces (léveLop])ahles,

Couihure moyenne. -^ On appelle courbure moyenne d'une surface, en un point, la quantité

facile à exprimer à l'aide des coefficients de l'équation donnant S. Les surfaces à courbure moyenne nulle

777 H- 7777 = o ou R + H = o .

sont les surfaces d étendue minimum.

On les rencontre dans le problème de Géométrie suivant :

Etant donné un contour fermé dans l'espace.^ trouver^ parmi toutes les surfaces continues passant par ce contour et limitées par lui., celle qui a Vaire la plus petite possible.

On démontre que la surface répondant à la question esl une surface à couj-bure moyenne nulle, en cliaque point. On peut réiiliscr |jln sKjuement cette surface, en construisant le contour en (il

4o4 CHAPITRE XII.

métallique fin, et en plongeant ce contour dans un liquide visqueux comme de l'eau de savon; si l'on retire ensuite le contour, on trouve la surface d'aire minimum réalisée par une lame liquide fermant le contour.

On peut remarquer que, pour une de ces surfaces, Findicatrice, en chaque point, est formée de deux hyperboles équilatères conjuguées : ses directions asymj^totiques sont rectangulaires.