Exemple. — Soit le paral^oloïde hyperbolique équilatère

xy

Cherchons les directions principales et les rayons de courbure principaux, en un point A quelconque de la surface {fig- ï43).

Fig. 1^3.

Actuellement, nous connaissons les directions asymptotiques en chaque point : en effet, le plan tangent, en un point A, coupe la surface suivant deux génératrices rectilignes AD et AD' passant par A. Cette intersection est une courbe à point double et les tangentes, en A, à cette courbe, c'est-à-dire les droites AD et AD' elles-mêmes forment les directions asymptotiques. Les directions principales, en A, sont donc les bissectrices A-' et At:'^ des angles formés par les génératrices rectilignes passant par A. JNous avons

actuellement

/' = o, J /équation donnant

est ici

— aS--\- Q.SXJ -\- ai a'^-{- x"^ ^ y- ) = o.

Elle a pour racines

rt S' = xy -+- /( a^ -h x^- ) ( a2 -i- jk-

Les deux rayons de courbure principaux sont alors

La surface a, en tous ses points, une courbure totale négative, car

Elle a une courbure moyenne nulle, aux points appartenant aux deux axes 0.r et O y'. En elFet, si .r =:: o ou y = o, on a

S+S=0, R7H--jv-=0-

Ce fait est aisé à vérifier géométriquement, car, en un point A de 0.r, par exemple, il passe deux génératrices du paraboloïde : l'une AD' coïncide avec Oj", l'autre AD est perpendiculaire àO^:*.

En ce point A, les directions asymptotiques sont donc rectangulaires. L'indicatrice est formée de deux hyperboles éqiiiiatères etronaR'+R''=o.