AI AP
AI = ^^1-
Nous allons vérifier que, z étant infiniment petit, le lieu du point I est une conique ayant pour équation
En effet, le point P ayant pour coordonnées ./ et^)', et le point I pour coordonnées X et \, la relation
AP = Al /I^ donne immédiatement
X = X\/:iz, jr = Y y/â^; en portant ces valeurs de :r et y dans l'équation (P), du lieu du
COURBUHE DES LIGNES TUACÉES SUR UNE SURFACE. 4o7
point P, on a, pour lien du point I,
z = z(>oX2+ 2.Ç0XY -f- ^0 Y2 ) -h z-^ {.-■) = o,
OÙ tons les termes non écrits contiennent z^ en facteur. Divisant cette équation par j et taisant tendre j vers zéro, on obtient, comme lieu du point 1, la conicpie (I).
Dans ce qui précède, nous avons coupé la surface par un plan parallèle au plan tangent;, placé du côté des z positifs.
Prenons de même un plan A'^, parallèle au plan tangent 00 Ay^ mais du côté des z négatifs; ce plan coupe la surface suivant une courbe, dont la projection est représentée par l'équation (P), où :: a une valeur constante négative {fig- i45).
Soient M un point de celte courbe, P sa projection horizontale; amplifions encore le rajôn vecteur AP dans le rapport |)renant
Al'
AP
AI' =
nous aurons, comme lieu du point 1', la conique
(T) roX2+25oXY-f-^oY2 = — 1.
En effet, on a actuellement
a: = X \/ — 2 z , ^ = Y y/ — -iz;
en portant dans l'équation (P), divisant par z et faisant tendre 3 vers zéro, on obtient l'équation de la conique (F). L'ensemble des
4o8 CHAPITRE XII.
deux coniques (I) et (F) forme rindicalrice de la surface au point A. La partie (I) de Tindicatrice provient des plans sécants, parallèles au plan xAy dn coté des z j)ositifs; l'autre partie (1) provient des plans sécants, parallèles au plan rAy du côté des z négatifs.
On a donc ainsi un moyen simple de définir Tindicatrice en un point.
249. Rayon de courbure d'une section normale. — Soit AB la trace d'une section normale et supposons que cette section soit une courbe AM tournant sa concavité vers le haut [fig. t44)- '^«i droite AB étant tangente en A à la courbe, et MP étant la distance de M au plan des jry^ le rayon de courbure en A est positif et a pour valeur (n° 160)
Soit, sur AB, le point I de l'indicatrice défini par la relation
— 2-^ AP' AI = lim .
'iz
On a alors
R = Âî';.
on retrouve ainsi la représentation du rayon de courbure, à l'aide de l'indicatrice.
Soient, de même, AB la trace d'une section normale tournant sa concavité vers le bas {/ig. i45), M un point de cette section voisin de A, P sa projection. La vabmr absolue du rayon de courbure de cette section, en A, est
Mais, d'après nos conventions, ce rayon de courbure doit être regardé comme négatif. On a donc
R = — lim
Couime la distance MP est égale à — ^, ^ désignant l'ordonnée
COL'HRUKE DKS LIGNKS TRACÉES SUU UNE SURFACE. /\0()
de M qui est négative, on a encore
Mais, j)our définir le point F de l'indicatrice, on a pris
On a donc
200. Remarque. — On peut présenter ces résultats de la façon suivante. En coupant une surface par un plan parallèle au plan tangent, en un point non singulier, à une distance infiniment petite de ce plan, et regardant la courl:)e d'intersection, au voisinage du point de contact, avec une loupe d'un grossissement infini, ou aperçoit une conique, ayant le point de contact comme centre. Cette conique est l'indicatrice : c'est une ellipse, une hyperbole ou un système de deux droites parallèles, suivant que la courbure totale de la surface au point considéré est positive, négative ou nulle. Les axes de cette conique donnent les directions principales de la surface au point considéré ; ses directions asymptotiques donnent les directions asymptotiques de la surface au point considéré : elles coïncident avec les tangentes, au point de contact, à l'intersection de la surface par le plan tangent.
201. Cas particulier des surfaces du deuxième ordre. — Les théorèmes précédents sont alors évidents, car, dans une surface du deuxième ordre, les sections faites par des plans parallèles sont liomothétiques. Donc, dans une de ces surfaces, pour obtenir une courbe homothétique de la section de la surface par un plan parallèle à un plan tangent et inliniment voisin de ce plan, il suffit de prendre la section de la surface par un plan parallèle au plan tangent, à une distance finie de ce point convenablement choisie, et de part et d'autre.
Il est évident, d'après cela, que, pour un ellipsoïde, l'indicatrice en un point est une ellipse; pour un hyperboloïde à une nappe, elle est formée de deux hyperboles conjuguées, ayant pour directions asymptotiques les génératrices du point de contact;
4lO CHAPITRE XII.
pour un cylindre, elle est formée de deux droites parallèles à 1j
^o2. Usage de l'indicatrice pour la détermination des tangentes à l'intersection de deux surfaces tangentes en un point. — (juand deux surfaces sonl tangentes, en un point A, elles se coupent, en général, suivant une courbe ayant un point double en A. Supposons qu'on ait construit les indicatrices des deux surfaces en ce point, courbes qui sont situées dans le plan tangent commun en A. On a alors le théorème suivant :
Les tangentes à l intersection, an point A, sont les diamètres communs aux indicatrices des deux surfaces.
En effet, prenons le point A comme origine et comme axe Kz la normale commune aux deux surfaces. Les équations de ces surfaces sont :
(S) ^ = -( ^^,a^2-r- 2 5,|iP/ -i- /^oJK- ) -h. . .,
Pour obtenir la projection de rintersection de ces deux surfaces sur le plan des ./•)', il faut éliminer j entre ces deux équations, ce qui se fait en les retranchant membre à membre. On a ainsi, comme projection de l'intersection, '
o = ( /•„ — r^)x^-\- •!{ s^^ — Si)xy -\- (ti)— tx)y'^-^. ...
Les termes de moindre degré étant du deuxième degré, la courbe présente un point double à Torigine A. Le j)lan des xy étant tangent aux surfaces en A, les tangentes à la courbe d'intersection dans l'espace, au point A, se confondent avec les tangentes à sa projection : ce sont donc deux droites représentées par l'équation
* ro— ''i )^^-i- -hsq — Si)xy -^ i /„ — ^i >^'= o.
Or ces droites sont précisément les diamètres communs aux deux indicatrices
/•„\2-f- '25oXY ^^oY« = ±l, /•,X2-+- 2*1 XY -4- ^lY- = ± I,
OÙ les signes des deux.ièmes membres se correspondent. En effet, pour avoir les diamètres communs à ces deux coniques, il suffit de retrancher leurs équations membre à membre, ce qui donne l'équation des tangentes écrite plus haut.
Si les indicatrices des deux surfaces, en A, n'ont pas de points réels communs, les deux tangentes sont imaginaires, le point A est un point isolé pour Fintersection des deux surfaces.
2o3. Paraboloïde oscillateur. Tore osculateur. — l ne surface étant rapportée à un de ses point> A. pris comme origine, et à la normale en ce point comme axe des ::, on peut, en développant z par la formule de Mac-Laurin, écrire l'équation de la surface sous la forme
( S ) s = - ( r,, x'^ ■+- •?. Sq xy -h ^o J'^ ) -^ • • • •
La loi des courbures des sections normales faites autour du point A et. par conséquent, la loi de là courbure de toutes les sections planes passant par A, ne dépend que des coefficients /„. 5o, /q- tlette loi est donc la même pour une deuxième surface tangente à la première au point A et pour laquelle /'o, 5o, ^o ont les mêmes valeurs. C'est ce qu'on voit aussi par la Géométrie, en remarquant que la variation du rayon de courbure des sections normales est représentée à l'aide de l'indicatrice
ruX2 -h 25oXY + ^0 Y2 = zh I ;
cette indicatrice ne dépendant que de Tq, s^. Cq, deux surfaces tangentes en A, pour lesquelles ces trois coefficients ont les mêmes valeurs, ont les mêmes indicatrices, et, par suite, deux sections normales ou deux sections planes quelconques, faites par un même plan passant par A dans les deux surfaces, ont même rayon de courbure, en A.
Ainsi, au point de vue de l'étude de la courbure des sections
'planes passant par A. on peut substituer à une surface une autre
surface tangente, pour\ u que r^, .^o, ^o soient les mêmes, ou encore
pourvu que les directions principales et les rayons de courbure
|)rincipaux en A soient les mêmes.
Voici deux façons simples de réaliser cette substitution.
4 12»^ CHAPITRIÎ XII.
Paraholoïde oscillateur. — Considérons la surface
obtenue en supprimant dans le développement (S) tous les termes
suivant le groupe des termes du deuxième degré. Cette équation
définit un paraholoïde qu'on nomme paraholoïde oscillateur
à la surface en A. Dans le voisinage de A, on peut substituer à la
surface un petit fragment de ce paraboloïde ; la loi de la courl)ure
des sections planes n'est pas altérée.
SI l'on prend pour axes A.x et Aj-, les directions principales At:
et At:" et si Ton appelle R' et R'' les deux rayons de courbure
principaux, on a
l'équation du ])araboloïde osculateur est donc alors
Ce paraboloïde est elliptique ou hyperbolique, sui\ant qiu^ la surface est à courbure totale positive ou négative. Dans le cas où la courbure totale est négative, les directions as jmj)to tiques de la surface S, en A, coïncident avec les génératrices rectilignes du paraholoïde osculateur P passant par A.
Si la courbure totale de la surface S au point A est nulle, R'=iocetle paraboloïde osculateur devient un cylindre parabolique
tangent au plan des xy suivant la droite unique avec laquelle se confondent alors les deux directions asymptoliques de la surface donnée S.
l'ore osculateur. — On peut aussi construire facilement un tore ayant, en A, mêmes directions principales et mêmes rayons de courbure principaux que la surface donnée.
Soient At: et At:" les directions principales, C et G" les centres de courbure principaux correspondants. Dans le plan de section
principale ^At:', traçons le cercle de centre C et de rayon G'A = R'. Dans le plan de section principale zArJ', traçons, de mcme, le cercle de centre G^ et de rayon C"A = R7. Supposons ensuite qu'on fasse tourner le cercle G^ autour d'un axe C'F, mené par G' perpendiculairement au plan du cercle G'. Nous engendrons ainsi un tore, qui est tangent à la surface donnée en A. En outre, ce tore a, en A, les mêmes directions principales At:' et A-" que la surface donnée : cela est évident, par raison de
symétrie, car la droite A?:' est tangente à réquateur du tore en A et At:" au méridien. Enfin ce tore a, en A, les mêmes rayons de courbure principaux que la surface proposée, car les deux seclions principales, en A, étant l'équateur et le méridien, leurs centres de courbure sont les centres G^ et G' de ces deux cercles.
Nous avons figuré ce tore (Jig'- i46, I et II), en supposant successivement que la surface est à courbure totale positive ou négative.
Si la surface est à courbure totale nulle, lV=:oo, le tore se réduit à un cylindre de révolution ayant pour base le cercle G'', tangent au plan des xy le long de A7L^
