I. — LIGNES DE COURBURE
254. Définition. — On appelle ligne de eourbure d'une surface^ une ligne tracée sur la surface de telle faç<^n (]ue les normales à la surface le long de cette ligne forment une surface développahle^ c'est-à-dire aient une enveloppe. Nous allons former l'équation différentielle des lignes de coui'bure. ÎNous en conclurons que, par chaque point dune surface, il ]);isse deux lignes de courbure tangentes aux directions principales en ce point.
^^i^. Équation différentielle des projections horizontales des lignes de courbure. — Soit une surface ayant j)our équation
si, sur cette surface, on considère une ligne de courbure JV, les coordonnées d'un point A de celte ligne peuvent être regardées comme des fonctions d'un même j)aramétre A
JK=:'i/(>0, z=f{x,y).
Appelons, comme précédemment,/). </, /", .s. t les dérivées partielles premières et secondes de c, ])ar rapp<<rt à ./ vA y. i\vs dérivées sont des fonctions de ./ et y, et, par suite, le long de la ligne de courbure, des fonctions de A j);ir l'intermédiaii-e de^etj'. ( )uand A croît de d\ le ])(>int V subit un (l(''placem(Mil inlinimcnt j.ctit AA', X et y croissent de di et dy, z, p et (j cioisscnl dv.
leurs différentielles :
dz =^ p dx -h q dy^ dp = r dx -r- s dy, dq — s dx -h t dy.
Les équations de la normale AN à la surface, au ])oint A ( ./ . )-, c),
sont
X — iP Y — y __ 7. — z
OU, en égalant les deux premiers rapports au troisième.
\ X=i: — pZ -\- X -h p z^
{ \^— qZ-^y-+-qz.
Dans ces équations, x, )', z, p ai q sont, le long de la ligne de courbure, des fonctions de A. Nous devons exprimer que la nor-
Fig. 147.
maie (i) engendre une surface développable. Or, les équations d'une droite étant mises sous la forme
X = aZ-^h,
bZ-^k.
où a, h. h. A sont fonctions d'un paramétre A, pour que cette droite engendre une surface développable, il faut et il suffit que les deux équations dérivées par rapport à X,
da dh
'dl '^Tn.'
db djk d\ "^ d\
4i6 ciiapituh: xiii.
donnent, pour Z, la mcn^e valeur, c'est-à-dire que Ton ait
dh dk da db
Comme, dans les équations (i), on a
az=—p^ b= — q, /i = x-\-pz, k — y -\- qz,
la condition cbercliée est
d{ X -^ p z ) d{ y -^ q z ) dp dq
En dévelop])ant on a
dx -+- p dz -^- z dp dy -\- q dz -\- z dq dp dq
11 , z dp z dq
OU, en su|)i)rimant les deux termes égaux — r-^ et —7—^7 ' ' 1 "^ dp dq
dx -h p dz dy -h (i dz
dp dq
Si l'on remplace dz^ <://>, dq par leurs expressions ci-dessus, la condition (3) devient
{\ -^ p'^ ) dx -^ pq dy pq dx -\- { i -h q-) dy r dx -^ s dy s dx -h / dy
En chassant les dénominateurs, on voit que cette équation est du deuxième dei»ré en dr et dy. Elle prend, en etîet, la forme
(4) dy^[(i-i- q'^)s—pqt]
-h dx dy\{ i -h q"^ )r — { \ -^- p- )t \-^ dx- [pqr — {i -h p- )s] = o.
En divisant pnvdx-, on obtient une équation du deuxième degré en -j-- Ce résultat montre (jue, prfj- cliaque point de la surface^
il passe deux lignes de courbure. En effet, si l'on projette le point A sur le plan horizontal, eu A, , et la ligue de courbure en L', , la tangente At' à la ligne de courbure, en A, se projette horizontalement, sui\ant hi tangente A|-'j à Ja projection L'j. T^e rapport — ^"''t le coetiicieul angulaire de la tangente, en A,, à la projection l/j de la ligne. Les coordonnées x et y du point A, étîuil
LIGNES PAKTICLLIÈHKS TRACKKS SLU INE SURFACE. 4 «7
données, les quanlités ^, /?, q^ /", 5, t sont déterminées, et l'équation (4) donne pour -^ deux valeurs : par le point A,, passent donc les projections I/^ et L", , de deux lignes de courbure, tangentes aux deux droites A<r:', et AiTû"^, dont les coefficients angulaires sont racines de l'équation (4). Cette équation s'appelle Véquatiou différentielle de la projection des lignes de courbure sur le plan des xy.
256. Théorème I. — Les deux lignes de courbure^ passant par un point A d' une surface^ ont pour tangentes^ en ce point^ les deux directions principales At' et A-".
Pour démontrer ce théorème, portons l'origine au point A (voir fig. 187 ou i39 ou i4i) en prenant comme axe des z la normale en A, comme axes des x et des y les directions principales au point A. Alors (n" 214), />, ^, s deviennent nuls, r et t prennent des valeurs ;'o et Iq. L'équation du deuxième degré (4), donnant les coefficients angulaires des tangentes aux projections horizontales des deux lignes de courbure passant par A, devient
( ^0 — '"o ) dx dy — o ;
elle donne donc, en prenant le cas général, c'est-à-dire en écartant le cas où ^0= ''0? c'est-à-dire où A serait un ombilic : ou bien
ou bien
dy = o.
L'une des tangentes aux lignes de courbure, passant par A, est donc l'axe Ky ou Aï:", et l'autre l'axe A.x ou At:'.
Autre démonstration. — Sans faire le changement d'axes ci-dessus, nous pouvons démontrer le théorème comme il suit. Si, dans l'équation du deuxième degré (4), nous remplaçons -^ par am, cette équation devient
[ii^q''')s —pqt] ^ m[{\ + q"^)!' — {\ -\- p^')t] -^ pqr — (i -h p^-)s = 0.
On reconnaît alors qu'elle est identique à l'équation (10) du n° 245, donnant les coefficients angulaires des projections Aj-rr^ et AiTTj des directions principales sur le plan des xy {fig. i42
APi'KM.. — Eléments d'Analijsc. — st. 27
4l8 , CHAPITRE XIII.
et i47)- Les lignes de courbure sont doue, en projection, tang(;ntes à Aj-'j et A,7r'j et, sur la surface, elles sont tangentes aux directions principales A—' et At:'.
257. Théorème II. — Soit AN la normale, en A, à la surface : par le point A passent deux lignes de courbure L' et L" {fig- i47)- Si le point A décrit la ligne L', la normale à la surface enveloppe une certaine courbe : soit C le point de contact de AN avec cette enveloppe. Si le point A décrit la ligne J^", la normale à la surface a, de même, une enveloppe : soit C le point de contact de AN avec cette deuxième enveloppe.
Les points C! et C" sont les deux centres de courbure principaux relatifs au point A.
Quand une droite mobile
\ = aZ-i-h, Y = bZ-\-k,
dont les coefficients dépendent d'un paramètre X, a une enveloppe, les coordonnées du point de contact de la droite avec son enveloppe vérifient les équations dérivées par rapport à A :
da dh db . dk
'' = ^^d}.-^dî' ""^^^dk-^dï'
Le Z du point de contact est donc donné par les deux équations compatibles
( 5 ) o = Z da ^ dh, o = 7. db ■+- dk.
Actuellement, il s'agit de l'enveloppe des normales
X = — /?Z -h a"M-/>^, \ — — cfL-^ y -^ qz.
Le Z du point de contact de la normale avec son enveloppe est donc fourni par les équations compatibles
o =—7.dp -^ d{x ^ pz), o— — Z dq -i- d{y -v q z)
ou, en développant,
o = — Z ( /• dx -f- s dy) -f- dx -\- p dz -^ z dp,
— Z{s dx -\- t dy) -^ dy -\- q dz -\- z dq.
Portons alors Foriginc an point A et prenons, comme plus haut, pour axes la normale AN et les deux directions principales Ar/
el At:". Nous aurons
/' et t prenant les valeurs 7*0 <*t ^o*
Les équations (6), donnant le Z du point de contact de la normale AN avec son enveloppe, deviendront alors
( 7 ) 0 = — Z /"o dx -h dx. o =—7.to dy -+- dy.
Si l'on déplace la normale; le long de la ligne de courbure L', tangente à l'axe des x^ on a dy ■= o, dx étant dillV'rent de zéro. La deuxième des équations (n) est identiquement satisfaite, et la première donne, pour le Z du point de contact G',
cest-à-dire
R' étant le rayon de courbure principal correspondant à la direction principale A—'. Le point de contact G' est donc bien le centre de courbure principal relatif à la direction principale A-n;'.
De même, si l'on déplace la normale le long de la ligne L ", on a
dx = o, dy -y^~ o;
la première des équations (^) est identique, la deuxième donne
c'est-à-dire
Le théorème est donc démontré.
^08. Résumé. - En résumé, les lignes de courbure d'une surface forment deux familles de courbes L' et L", se coupant respectivement à angle droit. En chaque point A de la surface, les directions principales At:' et At:' sont les tangentes aux deiîx lignes de courbure passant par ce point, et les centres de courbure principaux de la surface en A sont les points où la normale en A touche
420 CHAPITRE XllI.
les deux courbes qu'elle enveloppe, suivant qu'on déplace son pied sur la ligne L' ou la ligne L".
On voit que la connaissance des lignes de courbure d'une surface entraîne la connaissance de tous les éléments nécessaires à l'étude de la courbure de la surface en chacun de ses points.
Remarque. — Il faut bien remarquer que C et G' sont les centres de courbure des sections normales de la surface menées par KtJ et A-" {fig. 147) et non les centres de courbure des deux lignes de courbure. D'après le tliéorème de Meusnier. pour déterminer le centre de courbure de la ligne L' en A, il faudrait connaître le plan osculateur P à cette courbe en A et projeter ensuite le point C, centre de courbure de la section normale, sur le plan P.
Le lieu des points G est une développée de la ligne de courbure 1/. puisque ce lieu est l'enveloppe d'une suite de normales à 1/. De même, le lieu des points G' est une développée de L .
2o9. Lignes de courbure d'un paraboloïde hyperbolique équila-
tère. — Soit la surface
xy ^
Actuellement,
P = -•> cj ^ -
L'équation différentielle de la projection des lignes de courbure sur le plan des xy étant, en général,
dx -\- p dz dy -A- q dz dp dq
devient actuellement
dx -\--
\-dx-\ — ■ dy\ dy -+-'-(- dx -, dy
dy dx
Gliassant le dénominateur et réduisant, nous avons
(«2 -+-^2) dy^^ ( «2 4 j^2 j c?a72 = 0,
équation du deuxième degré en -^' On en tire
dx
dy dx
/ a'^ -f- Xy a'^-\-y^
En intégrant cette équation différentielle, on a l'équation, en termes finis, de la projection des lignes de courbure sur le plan des xy. En séparant les variables, on peut écrire
d.r , dy
yJa'-T-x- \Ja--\-y'^
L ( X -V \' a-^ -^ x-^) -±.\Ày ^ \J a'- -^ y- ) = LK ,
K désignant une constante arbitraire.
Suivant le signe choisi, on a l'un ou l'autre des deux systèmes le lignes de courbure.
Le signe + donne, en passant des logarithmes aux nombres,
{x -+- y/a--!- X- ) {y -+- \/a^ -^ y-) = ^S t le sigre —
y -^ si <^- -^ y-
En faisant varier K et K', on a ainsi les projections lioiizontales des deux familles de lignes de courbure.
260. Lignes de courbure des surfaces de révolution. — Dans une surface de révolution, les lignes de courbure sont les parallèles et les méridiens.
En effet, considérons une surface de révolution d'axe O^ et de méridienne AM. Les normales à la surface, le long d'un parallèle quelconque AP, forment un cône dont le sommet C est sur l'axe de révolution. Elles engendrent donc une surface développable dont l'arête de rebroussement est le point G' {fig- i48)'
De même, les normales à la surface, le long d'un méridien AM, sont dans le plan du méridien. Elles ont donc une enveloppe, qui n'est autre chose que la développée plane de la méridienne, et le point de contact G" d'une normale AN avec cette enveloppe est le centre de courbure de la méridienne au point A (n" !2l!2).
D'après cela, en un point A d'une surface de révolution, les directions principales sont les tangentes At:' et Att' au méridien et au parallèle passant par A, et les centres de courbure principaux
sont : i" le point C^ où la normale en A couj)c Taxe (\c révolution; 2"^ le point C, (-entre de eoiirbure de la méridienne au point A.
Par exemple, si l'on considère la surface de révolution engendrée par une chaîne t le
tournant autour de l'axe Ox\ les centres de courbure principaux en un point A sont : l'un sur l'axe Ox en G', l'autre au centre de
Fk'. i4y.
courbure G' de la chaînette. Comme le rayon de courl)uré d'une chaînette est égal à la normale (n*' 157), on a AG'= AG', les deux rayons de courbure principaux sont égaux et de signes contraires,,
et la surface a une courbure moyenne nulle en chacpie point. On a ainsi un exemple simple de surface d'étendue minimum (n" i2i6\.
1261. Surfaces développables. - Sur une surface développabh;, les lignes de courbure sont constituées par les génératrices rectilignes et les trajectoires orthogonales de ces génératrices, c'eslà-dire les développantes de l'arête de rebroussement.
En elVet, le plan tangent étant le même tout le long d'une génératric<' M, M, les normales à la surface le long de la ligne M^M { flg. 149) engendrent un [)lan : on peut dire qu'elles ont pour
LrGNKS PARTICULIÈRES TRACÉES SLR UNE SURFACE. /r>5
enveloppe un point G' rejeté à linlini sur une des normales. Nous connaissons ainsi un des systèmes de lignes de courbure. L'aulre système est alors formé des courbes tracées sur la surface et coupant les lignes du premier système, c'est-à-dire les génératrices rectilignes, à angle droit. Ces courbes sont les développantes de
Fig. 149.
l'arête de rebroussement M, D,. On peut les tracer en déroulant un fil enroulé sur Farête de rebroussement M,D, : un point du fil décrit une ligne de courbure de la deuxième famille.
On voit que l'un des rayons de courbure principaux, en clia([uc
|)oint, est infini; la courbure totale TrrçTf, est donc nulle, en cliaque
point. Nous verrons plus loin que, réciproquement, une surface dont la courbure totale est nulle en chaque point est une surface cléA^eloppabie.
